Tag Archives: 相合變換

每週問題 February 27, 2017

利用相合 (congruence) 變換證明若 ,則 。 Let and be Hermitian matrices. We will write that if is positive definite. The inequality means that is positive definite. Prove that if , then . Advertisements

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每週問題 January 16, 2017

這是兩個實對稱矩陣以相合變換同時可對角化問題。 Let and be real symmetric matrices, and , . If there exists a such that is a positive semidefinite matrix and , then there exists a nonsingular matrix such that both and are diagonal. Note that denotes the nullspace … Continue reading

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每週問題 November 21, 2016

證明兩個半正定矩陣之和的行列式大於或等於兩矩陣的行列式之和。 Let and be Hermitian and positive semidefinite matrices. Show that .

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每週問題 October 3, 2016

這是關於相合變換 (congruence transformation) 的問題。 Let and be Hermitian matrices. Suppose is invertible. Show that there exists a nonsingular matrix so that and are diagonal if and only if is diagonalizable and all its eigenvalues are real.

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答陳威丞──關於半正定矩陣的一個證明問題

網友陳威丞留言: 老師我是某校經濟系的學生,有一題題目在我的能力範圍外,可以請老師有空幫我解題亦或是跟我說一下需要用的什麼定理好讓我有個方向嗎? 設 和 之逆矩陣存在,若 為半正定且 ,,則試證 亦為半正定矩陣 (見“特殊矩陣 (6):正定矩陣”)。

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利用分塊矩陣證明 Hadamard 不等式

本文的閱讀等級:高級 分塊矩陣是矩陣理論的一項基本操作技巧。本文介紹如何利用分塊矩陣來證明 Hadamard 不等式 (見“Hadamard不等式”),內容包含三部分:先探討正定分塊矩陣的充分必要條件,再說明正定分塊矩陣的行列式與主對角分塊的行列式關係,最後運用此關係證明 Hadamard 不等式。

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半正定矩陣的偏序關係

本文的閱讀等級:高級 不等式是矩陣理論的重要主題之一,矩陣不等式的探討可以從矩陣與數系的對應關係切入。Hermitian 矩陣 滿足 ,可類比為實數 ;複半正定矩陣 對任意 都滿足 ,因此可類比為非負實數 (見“矩陣與複數的類比”)。自然地,讀者會問:Hermitian 矩陣之間是否可以如實數那樣比較「大小」?本文從回答此問題開始,通過新概念的制訂與聯繫,最終發掘出一系列半正定矩陣的不等性質。

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矩陣的等價關係

本文的閱讀等級:中級 等價關係 (equivalence relation) 是兩個數學物件之間的一種特殊關係。將待檢查的同類型數學物件合成為一集合 ,並定義 中任意兩元素 和 之間的關係,令 代表此種二元關係。嚴格來說,我們可以將關係 視為從 映至 的一個函數。對於任意元素對 ,若 ,則 和 具有指定關係,若 ,則兩者不存在此關係。下面我們用更精簡符號 來表示 。我們說 是一種等價關係,若它滿足下列三個條件: 反身性 (reflexive):對於任一 ,; 對稱性 (symmetric):若 ,則 ; 傳遞性 (transitive):若 且 ,則 。 根據等價關係 ,集合 可切割成互不相交的等價分類,每個等價分類中的元素彼此具有關係 ,但屬於不同等價分類的元素則不存在關係 。特別要強調:每一種等價關係 都存在對應的變換方式,也就是說,若 ,則有一個運算程序可將 … Continue reading

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每週問題 August 30, 2010

本週問題是利用相合(congruence)變換性質求一特殊分塊矩陣的正負以及零特徵值個數。 Pow-August-30-10 參考解答 PowSol-August-30-10

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相合變換

本文的閱讀等級:高級 理解線性代數各主要變換核心觀念和運算機制的一個有效方法是將研究焦點放在變換的不變性質上。例如,高斯消去法運用基本列運算產生列等價梯形矩陣,其效果等於左乘矩陣 一基本矩陣 ,表示如 (見“特殊矩陣 (10):基本矩陣”)。若一列減去另一列與某數的乘積,矩陣的許多性質維持不變,包括矩陣秩、列空間、零空間,以及行列式。又如相似變換 的基本運算為基底變換,目的是為了化簡矩陣成為對角形式或 Jordan 形式,此過程不改變矩陣秩、行列式、跡數、特徵值和 Jordan 形式 (見“相似變換下的不變性質”)。針對對稱矩陣或 Hermitian 矩陣 ,我們也可以問:二次型 或 的基本運算為何?哪些性質不受此運算改變?

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