Tag Archives: 矩陣三角化

每週問題 November 10, 2014

證明可么正對角化 (或稱可酉對角化,unitarily diagonalizable) 是正規矩陣 (normal matrix) 的一個充要條件。 Let be an matrix. Show that is normal, i.e., , if and only if is unitarily diagonalizable, namely, there exists a unitary matrix of the same size such that where are eigenvalues of … Continue reading

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同時可三角化矩陣

本文的閱讀等級:高級 令 為一個 階可交換 (commuting) 矩陣家族 (集合),其中任何兩矩陣 和 滿足 。若所有 皆可對角化,則存在一個可逆矩陣 使得 ,,是對角矩陣,此性質稱為同時可對角化 (見“同時可對角化矩陣”)。除此之外,可交換矩陣家族 另有同時可三角化性質。矩陣三角化或稱 Schur 分解 (見“矩陣三角化的 Schur 定理”) 是指任意 階矩陣 必可分解成 ,其中 是上三角矩陣, 是么正 (unitary) 矩陣,。同時可三角化則是存在一個么正矩陣 一併使得所有 為上三角矩陣。表面上,同時可三角化與同時可對角化看似是可交換矩陣的姊妹性質,實際上,兩者的論證過程差異頗大,同時可三角化的證明尤其需要運用較艱深的特徵分析技術。

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矩陣三角化的 Schur 定理

本文的閱讀等級:中級 令 是一個 階矩陣, 為 的特徵值 (包含重複特徵值), 為對應特徵值 的特徵向量。我們稱 是可對角化矩陣 (diagonalizable matrix),若 可分解為 , 或表示成 ,其中 階可逆矩陣 的行向量 (column vector) 由特徵向量 組成,即 ,且 是特徵值構成的對角矩陣。不過,任意方陣 未必都可對角化。退而求其次,是否存在可逆矩陣 使得 具有他樣簡單形式?這包含了兩個問題:應否限制 為某種特殊矩陣以便利搜尋?還有所謂的簡單形式究竟為何?以下我們考慮矩陣三角化的問題:設 為么正矩陣 (unitary matrix,或譯為酉矩陣), 是可逆矩陣且 (見“特殊矩陣 (3):么正矩陣 (酉矩陣)”)。令 ,其中 是上三角矩陣。我們將證明任意方陣都可么正三角化 (unitarily triangularizable),意指任意方陣都么正相似於一個上三角矩陣,此三角矩陣的主對角元即為 (同樣也是 … Continue reading

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