Tag Archives: 矩陣乘法

本文的閱讀等級：初級 德國數學家希爾伯特 (David Hilbert) 說[1]：「一個數學理論不被認為是完整的，直到你可以說得很清楚──你能解釋給第一個在街上相遇的人聽。」長久以來，這個問題一直困擾著許多線性代數初學者：基本矩陣運算，包括矩陣加法、純量乘法以及矩陣乘法，是如何被定義出來的？基本矩陣運算的數學原因既不是商業機密亦非神祕主義，矩陣與其基本運算源自於線性代數的核心運轉機制──線性變換 (linear transformation) 或稱線性映射 (linear mapping)。定義於有限維向量空間 (vector space)，譬如，實座標向量空間 ，複座標向量空間 ，的線性變換可以用矩陣表示；矩陣加法、純量乘法與矩陣乘法分別對應線性變換的加法、純量乘法以及複合 (composition)。換句話說，線性變換涉及的所有計算工作都可以透過矩陣運算實現。有別於一般基礎線性代數教科書直接給出計算公式，本文從線性變換觀點定義基本矩陣運算，並利用此定義證明相關的運算法則。

本文的閱讀等級：初級 線性變換的本質是數學函數，表示為 ，其中向量空間 是定義域，向量空間 是到達域。線性變換 將 映至 。線性變換本身也擁有向量的性質，因為從 映至 的所有線性變換構成的集合具有向量空間結構，本文從這個角度探究線性變換、矩陣和向量空間三者之間的錯綜關係。

本文的閱讀等級：初級 令 是一 階矩陣， 是一 階矩陣。矩陣乘積 存在很多種解釋方式。例如，若 為基本矩陣，則 表示對 執行列運算。另外，我們也可以視 為一線性變換，則 代表 的行向量 經變換矩陣 的映射結果： 除了上述兩種觀點 (見“左乘還是右乘，這就是問題所在”)，還有一種較不常見的解釋。令 是所有 階實矩陣所形成的向量空間，我們視 為定義於 之上的線性算子，表示為 上式中，矩陣 是線性算子 執行的變換程序，矩陣 則為 所處理的數學物件。本文藉由證明下面三個命題說明如何運用向量空間分析、特徵分析和線性變換的矩陣表達解析這種看似複雜的線性變換：(1) 若 可逆，則 也可逆，反之亦然；(2) 和 有相同的特徵值；(3) 若 可對角化，則 也可對角化，反之亦然（取自清大數研所2009年入學試題）。

本文的閱讀等級：初級 矩陣是線性代數處理分析的基本數學物件，但是幾乎沒有任何教科書曾經給出嚴格的公理化定義。儘管矩陣允許非常多不同面貌的解釋方案，我們對矩陣的認知大致可以區分為兩種觀點：矩陣是數字組合的矩形陣列，例如，一幅影像包含的像素，或一頁試算表所儲存資料；另一種位階較高的觀點是將矩陣視為介於兩向量空間的線性變換表達形式，而矩陣之所以對處理線性問題極其重要也正是因為這個緣故。本文將解釋何謂線性變換表示矩陣，並由線性變換基本性質推演出一套合理且自然的矩陣運算規則。