Tag Archives: 矩陣乘法

線性代數的第一堂課──矩陣乘法的定義

本文的閱讀等級:初級 美國數學教授克萊恩 (Morris Kline) 說[1]:「矩陣理論在被創造前就已發展完善。」這句話讓人一頭霧水,要釐清話中的涵意必須從矩陣的發展歷史說起。十七至十九世紀中葉,數學活動在歐洲以飛快的速度朝著各個領域發展,此時關於「陣列」(array) 運算的研究全部集中於行列式理論,矩陣理論並未隨著行列式同步發展。事實上,矩陣理論足足落後行列式兩百年之久。1850年,英國數學家西爾維斯特 (James Joseph Sylvester) 將矩形陣列命名為「矩陣」 (matrix),但他並未定義矩陣乘法。1857年,英國數學家凱萊 (Arthur Cayley) 發表一篇被後世公認為近代矩陣理論和線性代數基石的論文〈矩陣理論備忘錄〉(A Memoir on the Theory of Matrices),他將矩陣從行列式抽離出來,視之為另一個數學物件,並且定義完備的矩陣代數運算。這段歷史顯示矩陣乘法──矩陣理論中最重要的一個代數運算──絕對不是如數學課本所述那般理所當然,矩陣乘法定義隱含深層的意義,否則為何眾多優秀的數學家竟然看不出矩陣理當如此相乘。今天我們事後諸葛,已然明瞭矩陣代數之所以遲至十九世紀中葉才誕生的最主要原因在於人們一直無法確定矩陣的本質與功用究竟為何。 Advertisements

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矩陣乘法的現代觀點

本文的閱讀等級:初級 藍鳥把天空背在它的背上。 ───美國作家梭羅 (Henry David Thoreau)[1] 高中數學課本將矩陣乘積 的定義建立於每個 元 (entry,element) 的計算式上,進入大學之後,如果仍緊抓住這個定義不放,對於理解線性代數反而是個阻礙。線性代數處理的數學物件包括向量與矩陣,而非其中的元素。從比較現代的角度來看,矩陣乘法有許多個更富含意義的等價運算方式。底下介紹這些矩陣乘法的用意在於打開一個新眼界,好讓我們順利踏入線性代數的世界。

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線性代數的原罪?

代數課很難,我讀得很生氣。…當我說生氣,我是真的生氣。Brahana 不知道如何說清楚,我們的教材是 Bôcher 的書 (我認為寫得一團糟),我花在這個科目的多數時間裡,我的主要情緒惱火達到憤怒。…不知怎麼的,我的線性代數導論最後倖存下來。過了四、五年,在我取得博士學位,聽了諾伊曼 (von Neumann) 講的算子理論後,我才真正開始明白這個科目到底在講甚麼。 ───美國數學家哈爾莫斯 (Paul R. Halmos) 《我要做數學家》[1]   線性代數的前幾堂課談的是求解線性方程組和計算矩陣乘法,學生在高中時早已學過這些內容,一點困難也沒有。學期初時氣氛祥和,師生盡歡。 當我們介紹了子空間、生成、基底和線性獨立時,部分學生便覺得困惑,教室多了一絲淡淡的哀愁。 討論完線性變換和不同基底之間的座標變換,多半學生已掉入五里霧,眾人驚慌失措紛紛走避,至此課程正式進入失序狀態。 像是逃離不了的詛咒,這個情節年復一年重演。別無他法,身為教師的我們往往只能自嘆教學無方暗自飲泣。

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大學的線代課程

相較於已有二百年歷史的微積分與微分方程,線性代數成為大學基礎數學課程只不過是半個世紀前才發生的事。

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