Tag Archives: 矩陣代數

基本矩陣運算的定義

本文的閱讀等級:初級 德國數學家希爾伯特 (David Hilbert) 說[1]:「一個數學理論不被認為是完整的,直到你可以說得很清楚──你能解釋給第一個在街上相遇的人聽。」長久以來,這個問題一直困擾著許多線性代數初學者:基本矩陣運算,包括矩陣加法、純量乘法以及矩陣乘法,是如何被定義出來的?基本矩陣運算的數學原因既不是商業機密亦非神祕主義,矩陣與其基本運算源自於線性代數的核心運轉機制──線性變換 (linear transformation) 或稱線性映射 (linear mapping)。定義於有限維向量空間 (vector space),譬如,實座標向量空間 ,複座標向量空間 ,的線性變換可以用矩陣表示;矩陣加法、純量乘法與矩陣乘法分別對應線性變換的加法、純量乘法以及複合 (composition)。換句話說,線性變換涉及的所有計算工作都可以透過矩陣運算實現。有別於一般基礎線性代數教科書直接給出計算公式,本文從線性變換觀點定義基本矩陣運算,並利用此定義證明相關的運算法則。 Advertisements

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每週問題 January 5, 2015

這是2008年台大資訊所的碩士班入學試題。 Let . Determine .

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每週問題 March 10, 2014

證明任一主對角元為零的方陣必可表示為交換子 。 Let be an matrix with for all . Show that there exist matrices and such that .

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每週問題 September 26, 2011

這是矩陣代數演習問題。 Pow-Sept-26-11 參考解答 PowSol-Sept-26-11

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每週問題 September 5, 2011

本週問題是應用矩陣乘法結合律推導恆等式。 Pow-Sept-5-11 參考解答 PowSol-Sept-5-11

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每週問題 June 20, 2011

這是矩陣代數的推導問題。 Pow-June-20-11 解答更新 PowSol-June-20-11

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每週問題 May 9, 2011

本週是矩陣代數運算的練習問題。 Pow-May-9-11 參考解答 PowSol-May-9-11

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逆矩陣與恆等式

本文的閱讀等級:初級 對於一個方陣 ,逆矩陣或稱反矩陣 (inverse) 滿足 , 其中 為單位矩陣,例如, 。 一個矩陣的逆矩陣是唯一的。假設 且 ,我們說 是 的左逆, 是 的右逆。使用矩陣乘法結合律, , 證明 ,左逆等於右逆。又如果 ,則 ,因此證明逆矩陣的唯一性。若一個矩陣存在逆矩陣,我們稱之為非奇異 (nonsingular) 矩陣或可逆 (invertible) 矩陣;反之,則稱為奇異矩陣或不可逆矩陣。例如, 是非奇異矩陣, 是奇異矩陣。對於 階可逆矩陣 ,逆矩陣公式為 。 因此, 是可逆矩陣的充要條件為 。這個結果對任意 階矩陣 仍成立 (見“三階逆矩陣公式”)。

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矩陣運算的基本技巧

本文的閱讀等級:初級 考慮這個問題:若 和 為 階矩陣且 是可逆的,證明 。 任兩個矩陣之和 不存在逆矩陣公式。這個問題令人頭疼的地方在於 夾在兩個矩陣之間,要將它消去似乎不是一件容易的事。我們先檢視一下手邊的可用工具。矩陣運算遵守下列基本性質: 分配律 , 結合律 矩陣乘法交換律不總是成立,但若 是可逆的,則存在 使得 ,交換律在此情況下成立。 理論上,運用這些性質便足以應付多數的問題,但我也不諱言矩陣運算確實要善用一些技巧,複雜一點的問題更需要巧思和洞察力。

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試閱 第一章 線性方程式與矩陣代數

歡迎發表讀後感言或提出建議…… 1-1 線性方程式組 1-2 最簡梯形陣式 ch1-12-april-15-09 1-3 向量方程式 1-4 矩陣方程式 ch1-34-april-22-09

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