Tag Archives: 矩陣多項式

矩陣多項式

本文的閱讀等級:初級 令 表示最高次為 的多項式所形成的集合。給定 , 以及方陣 ,我們定義矩陣多項式 。 例如, 且 ,矩陣多項式為 。 這篇短文討論矩陣多項式的加法、純量乘法及一般乘法,並證明消滅多項式 (annihilating polynomial) 的存在性,即對於任一方陣 ,存在一多項式 使得 。 Advertisements

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交換子與可交換矩陣

本文的閱讀等級:高級 我們知道矩陣乘法不總是滿足交換律,即 ,其中 和 是 階矩陣。但如果 ,我們說 和 是可交換矩陣 (或對易矩陣)。當矩陣具備清晰的幾何意義時,無須計算也很容易判斷它們是否為可交換矩陣。譬如,在二維空間 ,令旋轉矩陣 表示逆時針旋轉 角,伸縮矩陣 表示 軸伸縮 倍, 軸伸縮 倍,如下 (見“幾何變換矩陣的設計”): 。 從幾何直觀即可確定 ,而且若 ,則 。自然地,我們想探究:對於旋轉矩陣 ,甚至任意矩陣 ,哪些 滿足乘法交換律?不過說來奇怪,找尋可交換矩陣問題並不常見於線性代數教科書。是因為這個問題不值得討論,還是因為這個問題尚未被解決?值不值得討論屬於主觀認知,在此不予評論。不過客觀的事實是:僅使用基礎線性代數知識便可求出 的所有可交換矩陣 。為了探討可交換矩陣問題,我們定義交換子 (commutator,或稱對易算符) 為 與 的差,記為 。 若 ,則 , 和 是可交換矩陣。明顯地, 且 … Continue reading

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循環向量定理

本文的閱讀等級:高級 令 為一個 階矩陣。對於 維向量 ,如果向量集 構成 的一組基底,則 稱為 的一個循環向量 (cyclic vector)。任一方陣 未必總是存在循環向量,譬如,單位矩陣 ,因為對於所有 ,。本文證明循環向量定理,包含下列等價陳述: 有一個循環向量。 相似於一個相伴矩陣 (companion matrix)。 的最小多項式即為其特徵多項式。 若 和 是可交換矩陣,,則 是由 形成的矩陣多項式,即 , 是一個多項式。

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答鄧勇──關於λ-矩陣的伴隨矩陣關係式

網友鄧勇留言: 老师:您好!如何证明λ-矩阵和其伴随矩阵的关系式 呢?我百思不得其解,是否这个关系式根本就不成立?我已经看了“伴随矩阵”,内容都懂。我疑惑的是您在“Cayley-Hamilton 定理的一个代数证明方法”一文中,设 后,矩阵 则不是数字矩阵了,那么后面证明中要用到的主要关系式 对非数字矩阵依然成立吗?如果不成立,那么后面就得不到定理证明;如果主要关系式是正确的,又应该如何证明呢?显然它的证明与数字矩阵的证明是不一样的,对于它的证明,我试了很多方法,仍然证不出来,烦请老师给指点迷津。谢谢!

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利用 Cayley-Hamilton 定理計算矩陣函數

本文的閱讀等級:中級 達文西說:「簡單是最終極的細緻。」(Simplicity is the ultimate sophistication.) 就數學而言,簡單不意味平庸,反而是優雅的體現。本文從一個簡單的問題開始,並致力於發展簡單的解法。令 ,求 。典型的問題通常有典型的解法,對角化 (diagonalization) 是目前最常用的冪矩陣算法。矩陣 有相異特徵值 和 ,對應特徵向量 和 ,故可對角化為 。 利用上式立得 。 不過,遺憾的是對角化並不適用於所有的矩陣。若 ,則 有兩個特徵值 ,但其特徵空間僅含一線性獨立向量 ,即知 不可對角化 (見“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”)。針對不可對角化矩陣,典型的方法是分解出 的 Jordan 形式 ,接著計算 (見“利用 Jordan form 解差分方程與微分方程”)。表面上,計算冪矩陣並不很困難,使用 Jordan 典型形式似乎有些「小題大作」。倘若不採用 Jordan 分解,那麼還有其他方法嗎?繼續閱讀前,建議讀者先花個幾分鐘想一想。

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利用連續論證法證明 Cayley-Hamilton 定理

本文的閱讀等級:中級 令 為一 階矩陣,且 為其特徵多項式。設 是 的特徵值,也就是特徵多項式 的根,故 可表示為 。 將特徵多項式的變數 替換為方陣 ,常數 替換成單位矩陣 ,可得一形式相同的矩陣多項式,Cayley-Hamilton 定理 (見“Cayley-Hamilton 定理”) 宣稱 。 本文利用連續論證法證明 Cayley-Hamilton 定理,包含三個步驟 (見“連續論證法”):(1) 若 是可對角化矩陣,很容易證明 。(2) 若 不可對角化,考慮 「鄰近」的可對角化矩陣 ,其中 是一極小純量。(3) 特徵多項式是 的連續函數,令 即可證得不可對角化矩陣 亦滿足 。

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每週問題 February 7, 2011

這是利用特徵值判斷可逆矩陣多項式的練習問題。 Pow-Feb-7-11 參考解答 PowSol-Feb-7-11

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最小多項式 (上)

本文的閱讀等級:中級 給定一 次多項式 對於任意 階方陣 ,我們可定義下列矩陣多項式: 多項式和矩陣之間存在重要的關係,這種關係表現在矩陣的消滅多項式 (annihilating polynomial),亦即 使得 。線性代數學者最常碰到的多項式就是方陣 的特徵多項式 ,我們不免好奇:特徵多項式 是否會消滅 ?答案是肯定的,,這個結果稱作 Cayley-Hamilton 定理 (證明見“Cayley-Hamilton 定理”和“Cayley-Hamilton 定理的一個代數證明方法”)。除了特徵多項式,還有其他可消滅方陣 的多項式,最小多項式 (minimal polynomial) 是其中最特別的一個。

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就是要相似

本文的閱讀等級:中級 相似是一種非常重要的矩陣等價關係。設 和 為 階方陣,如果存在一個可逆矩陣 使得 ,我們說 相似於 。所有的相似矩陣構成一個矩陣大家族,這個家族裡的成員擁有許多相同的「基因」,例如,矩陣秩,特徵值,行列式,跡數,與 Jordan 形式等(見“相似變換下的不變性質”)。下面整理了一些常見的相似矩陣關係,證明使用基本矩陣代數以及進階方法如 Jordan 典型形式和奇異值分解。

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拒絕行列式的特徵分析

本文的閱讀等級:高級 美國詩人佛洛斯特 (Robert Frost) 最常被吟誦的一首詩大概是〈未擇之路〉(The road not taken)。這首詩意境優美,淺白詩句底下蘊含人生省思,全詩分四段,這是第一段[1]: Two roads diverged in a yellow wood, And sorry I could not travel both And be one traveler, long I stood And looked down one as far as I could To where … Continue reading

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