Tag Archives: 矩陣指數

線性微分方程的穩定性

本文的閱讀等級:中級 在許多物理、工程和經濟學問題,我們常關注動態系統在均衡狀態 (equilibrium state) 附近的行為。如果一系統受到小干擾後最終會返回均衡狀態,便稱此系統是漸近穩定 (asymptotically stable,以下簡稱穩定),否則稱為不穩定。設向量 表示系統於時間 所處的狀態。對於一般動態系統,我們可以用線性微分方程 近似描述系統在均衡狀態 附近的行為,其中 是一 階常數矩陣, 是由擾動所決定的初始狀態。本文推導穩定線性系統的充分與必要條件,即當 ,線性微分方程解 的所有元趨於零的條件。 Advertisements

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線性微分方程解的存在性與唯一性

本文的閱讀等級:中級 考慮一物理系統,在任意時間 ,該系統的狀態完全由 個函數 描述。在任意時間 ,假設這些函數的變化率由它們的函數值所決定,表示如下: , 並給定初始條件 ,。如果數組 滿足 , 我們稱系統處在均衡狀態 (equilibrium state)。除非受到外力干擾,否則系統不會離開均衡狀態。我們對於均衡狀態附近的系統行為特別感興趣,精確地說,我們想瞭解系統在微小擾動下是否具備穩定性。若系統受到擾動後最終可以返回均衡狀態,便稱此系統是穩定的,否則稱為不穩定。為了探討這個問題,設定 , 其中 是微小擾動量。將上式代入前面的微分式,寫出泰勒展開式, 當 ,,令 。如果忽略高階項,物理系統在均衡狀態 附近的行為可以用下列線性微分方程近似: , 或表示為矩陣形式 。 令 是一 維向量且 是一 階矩陣。定義 ,可得簡明的向量微分方程式 。 我們研習常微分方程的一個強烈動機即在解出 ,,以確定系統的漸近行為 (當 )。本文採用矩陣分析證明線性微分方程解的存在性與唯一性,給出齊次常微分方程的解並定義矩陣指數,最後討論矩陣微分方程解的可逆性 (線性代數與微分方程的一般關聯性討論請見“從線性代數看微分方程”)。

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矩陣導數

本文的閱讀等級:中級 令 為一個多變量可導函數,或記為 ,其中 。我們定義 的梯度 (gradient) 為下列 維向量: , 其中 的第 元是 對變數 的一階偏導數 。如果給定 個多變量函數 ,則有 個梯度 。將所有 梯度合併成一個矩陣,取轉置,可得 階矩陣 , 稱為 Jacobian 矩陣。另一方面,如果 是二階可導函數,我們可以計算 的每一元 的梯度,如此可得 , 稱為 Hessian 矩陣。請注意,梯度 的 Jacobian 矩陣即為 的 Hessian 矩陣 (見“Jacobian … Continue reading

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每週問題 March 18, 2013

這是可交換矩陣的矩陣指數證明問題。 Let and be matrices. Prove the following statements. (a) If , then . (b) If for all , then .

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每週問題 December 10, 2012

這是每一位學者都應該知道的矩陣指數計算問題。 Find , where .

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特殊矩陣 (15):Pascal 矩陣 (下)

本文的閱讀等級:中級 我們將前文“特殊矩陣 (15):Pascal 矩陣 (上)”的主要結果整理於下。首先定義一 階創造矩陣 :若 ,,否則 。創造矩陣 衍生出矩陣指數,如下: , 其中 是實數。因為 是冪零矩陣,即對於 ,,故 可表示為 的 次多項式: 。 代入 ,可得 ;代入 ,可得 。展開上式等號右邊即推得 的 元:若 , ,否則 。提醒讀者,我們定義 若 , 若 。令帕斯卡矩陣為 (亦即若 ,,否則 ),所以對於任意實數 ,,並有以下必然結果: 。 當 ,即得 … Continue reading

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特殊矩陣 (15):Pascal 矩陣 (上)

本文的閱讀等級:中級 二項式定理 (binomial theorem) 由牛頓於公元1664-65年間提出,此定理給出 的整數次冪展開公式: , 其中 為 取 的組合數目,稱為二項式係數,它遵守帕斯卡(Pascal)法則: 。 證明如下。令 表示 個元素構成的集合,設 ,由 中選取 個元素可分開兩種情況討論:若不取 ,則必須從 選取 個元素,組合數為 ;若選取 ,則還要從 取其餘 個元素,組合數為 。帕斯卡法則的代數證明請見“二項式係數公式”。

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矩陣函數 (上)

本文的閱讀等級:中級 給定二階方陣 ,如何計算 ?(取自交大資訊所2007年入學試題) 我們或許直覺認為 各元不過就是 對應元的餘弦函數,,上例為 。 此定義的缺點在於 未能保留餘弦函數的一些美好性質。舉例而言,既然有 和倍角公式 ,我們自然希望任意方陣 的矩陣函數 和 同樣滿足 和 。但這要如何辦到呢?本文僅解說可對角化矩陣函數,不可對角化矩陣函數涉及 Jordan 形式,將留待下文詳細討論。

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特殊矩陣 (13):反對稱矩陣

本文的閱讀等級:中級 若 階矩陣 滿足 ,即 ,我們稱 為反對稱矩陣 (anti-symmetric) 或斜對稱矩陣 (skew-symmetric)。因為 ,反對稱矩陣的主對角元必為零,推得 。下為反對稱矩陣一例: 。 僅由外表很難一窺反對稱矩陣蘊含的性質,下面我們探討反對稱矩陣在向量空間、行列式、特徵值以及矩陣函數的一些表現。在一般情況下,反對稱矩陣限定於實矩陣,推廣至複矩陣則將轉置替換為共軛轉置,這時稱為斜─Hermitian 矩陣。

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Neumann 無窮級數

本文的閱讀等級:中級 設 為一 階矩陣,若 ,則 可逆且 , 上式稱為 Neumann 無窮級數。通過證明此命題可以深入瞭解矩陣範數 (norm) 於分析冪矩陣級數收斂性的作用,運用類似手法也可解釋何以矩陣指數 必定收斂。

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