Tag Archives: 矩陣指數

本文的閱讀等級：中級 考慮一物理系統，在任意時間 ，該系統的狀態完全由 個函數 描述。在任意時間 ，假設這些函數的變化率由它們的函數值所決定，表示如下： ， 並給定初始條件 ，。如果數組 滿足 ， 我們稱系統處在均衡狀態 (equilibrium state)。除非受到外力干擾，否則系統不會離開均衡狀態。我們對於均衡狀態附近的系統行為特別感興趣，精確地說，我們想瞭解系統在微小擾動下是否具備穩定性。若系統受到擾動後最終可以返回均衡狀態，便稱此系統是穩定的，否則稱為不穩定。為了探討這個問題，設定 ， 其中 是微小擾動量。將上式代入前面的微分式，寫出泰勒展開式， 當 ，，令 。如果忽略高階項，物理系統在均衡狀態 附近的行為可以用下列線性微分方程近似： ， 或表示為矩陣形式 。 令 是一 維向量且 是一 階矩陣。定義 ，可得簡明的向量微分方程式 。 我們研習常微分方程的一個強烈動機即在解出 ，，以確定系統的漸近行為 (當 )。本文採用矩陣分析證明線性微分方程解的存在性與唯一性，給出齊次常微分方程的解並定義矩陣指數，最後討論矩陣微分方程解的可逆性 (線性代數與微分方程的一般關聯性討論請見“從線性代數看微分方程”)。