Tag Archives: 矩陣指標

矩陣與特徵值的指標

本文的閱讀等級:中級 在線性代數中,一 階複矩陣 可以視為線性算子 (linear operator),。線性算子 的值域是矩陣 的行空間,記作 ;線性算子 的核是矩陣 的零空間,記作 (見“線性變換與矩陣的用語比較”)。若 是一可逆矩陣,則 且 ,其中 。若 是不可逆矩陣,則 未能充滿整個 而且 包含非零向量,[1] 且 。秩─零度定理聲明矩陣的秩 (rank) 與零度 (nullity) 之和等於線性算子的定義域的維數 (見“運用輸入輸出模型活化秩─零度定理”): , 其中 ,。另一方面,容斥定理闡明兩個子空間與子空間和以及子空間交集的維數關係 (見“補子空間與直和”)。容斥定理套用至行空間 與零空間 ,如下: 。 因此,,可以推論 同義於 。這個時候,在向量空間 , 是 的一個補子空間,反之亦然,記作 … Continue reading

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廣義收斂矩陣

本文的閱讀等級:高級 令 為一 階矩陣, 為其特徵值。若譜半徑 ,即所有特徵值都滿足 ,可以證明 ,我們稱 為收斂矩陣 (見“譜半徑與矩陣範數”)。考慮一般廣義收斂矩陣 使得 存在,但不必是零矩陣。運用 Jordan 形式分析可以推導出廣義收斂矩陣的存在條件及其收斂形式。設 的 Jordan 形式為 ,就有 。 Jordan 矩陣 為基本 Jordan 分塊 的直和,故冪矩陣 為 的直和 (見“Jordan 形式大解讀(上)”)。對於每一基本 Jordan 分塊 ,若 全都存在,則 存在,即知 存在。既然 的存在條件等同於 的存在條件,下面我們將焦點轉移至基本 Jordan 分塊的冪矩陣。

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核心—冪零分解

本文的閱讀等級:中級 核心—冪零分解 (core-nilpotent decomposition) 是不可逆矩陣的一種相似變換,主要應用於推導 Jordan 典型形式。核心—冪零分解不像奇異值分解具有廣泛的用途,然而,它的推演過程讓原本隱蔽的矩陣子空間結構浮現出來,因此可以說是一個頗具深度的矩陣空間分析示範教材[1]。

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值域—零空間分解

本文的閱讀等級:中級 設 和 為有限維向量空間 的兩個子空間,且 。子空間 和 的直和 (direct sum) 也是一個子空間 (見“補子空間與直和”), 。 如果 ,我們說 和 在向量空間 中互為補子空間 (complementary subspace),並稱 為 的直和分解。有別於一般矩陣分解如 LU 分解、QR 分解,直和分解的作用在於切割向量空間,例如, 的 XY 平面 和 Z 軸 是一個直和分解。明顯地, 或 存在無窮多直和分解。如果給定一 階矩陣 ,如何由 的四個基本子空間衍生具實用價值的直和分解?本文將探討這個問題[1]。以下將向量空間限定於 ,但本文所述內容皆可延伸至 ,惟 必須改為 … Continue reading

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