Tag Archives: 矩陣範數

每週問題 June 1, 2015

利用矩陣範數證明可逆矩陣。原先公布的問題與“每週問題 May 31, 2010”重複,故更改為下列問題。 Let be an matrix. If , show that is invertible. Advertisements

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每週問題 February 9, 2015

證明一特殊矩陣的2-範數等於 Frobenius 範數。 If , show that , where is the 2-norm and is the Frobenius norm.

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矩陣的數值秩

本文的閱讀等級:高級 1879年,德國數學家弗羅貝尼烏斯 (Ferdinand Georg Frobenius) 提出秩 (rank) 作為矩陣所攜帶訊息量的一種測度。一矩陣 的秩,記作 ,定義為最大可逆子陣的階數,即最大非零餘子式 (minor) 的行列式階數,因此也稱為行列式秩。近代線性代數已捨棄行列式定義,改用較富幾何意義的向量空間定義:秩是矩陣的行空間 (column space) 維數,同樣也是列空間 (row space) 維數,換句話說,秩是最大的線性獨立行 (列) 向量數 (見“你不能不知道的矩陣秩”)。一般基礎線性代數教科書多以高斯消去法揭示矩陣秩 (見“利用行列式計算矩陣秩”),但實際數值計算卻不採用高斯消去法,原因在於 並非 的連續函數。舉例來說,。若 ,則 。若 ,則 。這個例子顯示極微小的擾動量便足以造成矩陣秩的跳躍。由於計算機的浮點運算難免引入誤差,我們必須審慎處理矩陣秩的數值計算問題。本文介紹奇異值分解在矩陣秩的擾動分析以及數值計算的應用,原因無他,奇異值分解是現今最可靠的數值秩算法 (另一個有效的算法是計算成本較低的 QR 分解[1])。

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每週問題 July 1, 2013

這是推導 階矩陣的2-範數與 Frobenius 範數的關係式問題。 Let be a real matrix. Show that where is the 2-norm of and is the Frobenius norm of .

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數值域

本文的閱讀等級:高級 給定一 階矩陣 ,矩陣譜 (spectrum) 是所有特徵值所形成的集合,表示為 ;譜半徑 (spectrum radius) 是包含特徵值的最小半徑 (原點是圓中心),記為 (見“譜半徑與矩陣範數”)。類似矩陣譜的表達方式, 的數值域 (numerical range 或 field of values) 定義如下: , 或以 Rayleigh 商表示為 。 這兩個定義是等價的,證明見“Hermitian 矩陣特徵值的變化界定”。為了測量數值域的大小, 的數值半徑 (numerical radius) 定義為包含數值域的最小圓半徑: 。 矩陣譜 是一離散集合,稍後我們將證明數值域 是一連通緊凸集 (connected compact convex set)。如同矩陣譜的功用,數值域也可以幫助我們了解矩陣的本質,尤其是不具特殊形態的一般矩陣。

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特徵值的擾動分析

本文的閱讀等級:高級 若論方陣最精華的本質,誠然非特徵值莫屬。特徵值決定了矩陣所代表的線性變換的固有特性。特徵值的絕對值 (或稱向徑) 表示線性變換的伸縮大小,特徵值的幅角則表示旋轉強弱 (見“解讀複特徵值”)。若 的所有特徵值的絕對值小於 ,則冪矩陣 將隨 增大而收斂至零矩陣 (見“收斂矩陣”)。若 的所有特徵值的實部是負數,當 ,矩陣指數 趨於零矩陣 (見“線性微分方程的穩定性”)。透過對矩陣特徵值的研究,不僅可以幫助我們了解矩陣的本質,還可以提供解讀複雜動態系統行為的線索。本文探討特徵值的擾動分析,也就是在引入擾動的情況下 (如數值計算的捨入誤差或來自線性系統外部的干擾),設法界定矩陣特徵值的變化範圍。我們將運用矩陣範數、對角化和三角化推導出兩個特徵值變異的上界[1]。

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線性微分方程解的存在性與唯一性

本文的閱讀等級:中級 考慮一物理系統,在任意時間 ,該系統的狀態完全由 個函數 描述。在任意時間 ,假設這些函數的變化率由它們的函數值所決定,表示如下: , 並給定初始條件 ,。如果數組 滿足 , 我們稱系統處在均衡狀態 (equilibrium state)。除非受到外力干擾,否則系統不會離開均衡狀態。我們對於均衡狀態附近的系統行為特別感興趣,精確地說,我們想瞭解系統在微小擾動下是否具備穩定性。若系統受到擾動後最終可以返回均衡狀態,便稱此系統是穩定的,否則稱為不穩定。為了探討這個問題,設定 , 其中 是微小擾動量。將上式代入前面的微分式,寫出泰勒展開式, 當 ,,令 。如果忽略高階項,物理系統在均衡狀態 附近的行為可以用下列線性微分方程近似: , 或表示為矩陣形式 。 令 是一 維向量且 是一 階矩陣。定義 ,可得簡明的向量微分方程式 。 我們研習常微分方程的一個強烈動機即在解出 ,,以確定系統的漸近行為 (當 )。本文採用矩陣分析證明線性微分方程解的存在性與唯一性,給出齊次常微分方程的解並定義矩陣指數,最後討論矩陣微分方程解的可逆性 (線性代數與微分方程的一般關聯性討論請見“從線性代數看微分方程”)。

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答f87110jim──關於矩陣的大小與方向

網友f87110jim留言: 老師我想問一個問題,因向量包含有大小跟方向,而矩陣都有包含嗎?那集合裡面的矩陣是向量嗎 (假如此矩陣為3×3,4×4,5×5…)?

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特殊矩陣 (18):正矩陣

本文的閱讀等級:高級 令 為一 階實矩陣。若每一 ,我們稱 是正矩陣 (positive matrix),記為 。(注意,在其他文章我用 表示 是正定矩陣。) 若每一 ,則 稱為非負矩陣 (nonnegative matrix),記為 。推廣至更一般的情況, 代表每一 , 代表每一 。因為 維實向量可視為 階矩陣,故同樣有正向量和非負向量的概念。相反關係 和 也按類似方式定義。正矩陣和非負矩陣出現於許多應用問題中,例如,馬可夫過程 (見“馬可夫過程”) 和圖論模型的鄰接矩陣 (見“Google 搜尋引擎使用的矩陣運算”,“線性代數在圖論的應用 (一):鄰接矩陣”)。本文介紹 階正矩陣的特徵值和特徵向量性質,這些結果統稱為 Perron 定理[1]。

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譜半徑與矩陣範數

本文的閱讀等級:高級 若 ,我們知道 且 。讀者自然會問:矩陣是否也擁有類似的性質?矩陣範數 (matrix norm) 是一種矩陣「大小」的度量,我們不妨由此著手。令 為一 階矩陣,我們曾經證明:若 ,其中 可為任何標準矩陣範數 (稍後詳述),則 Neumann 無窮級數 收斂 (見“Neumann 無窮級數”)。然而 並非 收斂的必要條件,例如, 的特徵值皆為零且 ,但是 。除了矩陣範數,矩陣的特徵值也具有度量矩陣「大小」的功能。考慮特徵方程 ,則 ,故 決定了向量 的長度伸縮。令 為 的所有相異特徵值所成的集合,稱為矩陣譜 (spectrum),並令 為 的最大絕對特徵值,稱為譜半徑 (spectral radius),即 。 在複數平面上, 的所有特徵值都位於圓心在原點,半徑等於 的圓內。類似矩陣範數,譜半徑同樣可控制冪矩陣 的成長。本文討論兩個問題:(1) 如何利用譜半徑 … Continue reading

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