Tag Archives: 矩陣譜

本文的閱讀等級：高級 令 為一 階矩陣。矩陣 的特徵值形成的集合稱為矩陣譜 (spectrum)，記為 。現實應用中矩陣難免引入擾動，我們非常關心特徵值會有多大的變異，其中一部分固然來自擾動的直接衝擊，另一部分則取決於矩陣的固有性質。正規矩陣 的標記是 和 滿足交換律 ，並擁有一個令人稱頌的性質：可么正對角化，意思是 可分解為 ，其中 ，，且 是么正 (unitary) 矩陣， (見“特殊矩陣 (2)：正規矩陣”)。因為這個特性，正規矩陣特徵值的變化上界完全由擾動決定，所以相對不敏感。然而，對於非正規矩陣，縱使微小的擾動也可能引發特徵值的巨大改變 (見“特徵值的擾動分析”)。見下例： 。 矩陣 有重複的特徵值 ，但僅有一個線性獨立的特徵向量，因此不可對角化，自然是非正規矩陣。設微擾矩陣 的元 是一極小的正數。矩陣 有相異特徵值 ，但仍非正規矩陣。考慮一般情況，為了探討 的特徵值受到微擾矩陣 的影響，在 的前提下，我們可以隨意設定 ，然後觀察收集 的特徵值。這個思想實驗的結果稱為矩陣 的偽譜 (pseudospectrum)，有下列三種等價的表達式： 明顯地，當 ，偽譜 收斂至矩陣譜 。本文將證明這三種表達是等價的，並介紹幾個偽譜的性質 (取自[1,2])。

本文的閱讀等級：中級 在矩陣分析中，對角化 (diagonalization) 是一個非常重要的概念與工具。如果 階矩陣 相似於一個對角矩陣，我們稱 是可對角化矩陣 (diagonalizable matrix)，具體地說，存在一個同階可逆矩陣 使得 為對角矩陣，意味矩陣 可分解為 。矩陣的對角化與特徵分析有密切的關係，對角矩陣 的主對角元 為 的特徵值，而對角化的變換矩陣 的行向量 (column vector) 為對應特徵值 的特徵向量，。可對角化矩陣的直觀解釋是如果以特徵向量 當作基底，則參考這組基底的線性變換表示矩陣，即特徵值矩陣 ，具有最簡約的主對角形式。本文介紹可對角化矩陣的另一個分解表達式，稱為譜分解 (spectral decomposition) 或譜定理，它的特點是能夠表現更豐富的幾何意義，同時也具備簡化可對角化矩陣函數計算的功用 (見“矩陣函數 (上)”)。