Tag Archives: 矩陣譜

Cesàro 矩陣序列

本文的閱讀等級:高級 給定一數列 ,Cesàro 數列定義為 ,其中 是 的前 項的平均數,如下: 。 Cesàro 數列因義大利數學家切薩羅 (Ernesto Cesàro) 而得名。若 ,我們說數列 是可累加的 (summable), 稱為 Cesàro 極限。若數列 收斂至 ,則對應的 Cesàro 數列 也收斂至 (證明見附註[1])。收斂性蘊含可累加性,但可累加性未必有收斂性。例如,震盪數列 不收斂,但對應的 Cesàro 數列收斂至 。Cesàro 數列可以推廣至矩陣序列。令 為一 階矩陣。若 存在,則稱 為可累加矩陣。(如果不取平均, 稱為 Neumann 無窮級數[2]。) 若 ,我們稱 … Continue reading

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特殊矩陣 (21):非負矩陣

本文的閱讀等級:高級 令 為一個 階實矩陣。若每一 ,我們稱 是正矩陣 (positive matrix),記為 。若每一 ,則 稱為非負矩陣 (nonnegative matrix),記為 。推廣至更一般的情況, 表示每一 , 表示每一 。因為 維實向量可視為 階實矩陣,故同樣有正向量和非負向量的概念。相反關係 和 也按類似方式定義。令 是 的所有相異特徵值所形成的集合,稱為矩陣譜 (spectrum),並令 是 的最大絕對特徵值,稱為譜半徑 (spectral radius),即 。若 是一個 階正矩陣,Perron 定理包含下列特徵值和特徵向量性質 (見“特殊矩陣 (18):正矩陣”): 譜半徑 是 的一個特徵值,稱為 Perron 根。 … Continue reading

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偽譜分析

本文的閱讀等級:高級 令 為一 階矩陣。矩陣 的特徵值形成的集合稱為矩陣譜 (spectrum),記為 。現實應用中矩陣難免引入擾動,我們非常關心特徵值會有多大的變異,其中一部分固然來自擾動的直接衝擊,另一部分則取決於矩陣的固有性質。正規矩陣 的標記是 和 滿足交換律 ,並擁有一個令人稱頌的性質:可么正對角化,意思是 可分解為 ,其中 ,,且 是么正 (unitary) 矩陣, (見“特殊矩陣 (2):正規矩陣”)。因為這個特性,正規矩陣特徵值的變化上界完全由擾動決定,所以相對不敏感。然而,對於非正規矩陣,縱使微小的擾動也可能引發特徵值的巨大改變 (見“特徵值的擾動分析”)。見下例: 。 矩陣 有重複的特徵值 ,但僅有一個線性獨立的特徵向量,因此不可對角化,自然是非正規矩陣。設微擾矩陣 的元 是一極小的正數。矩陣 有相異特徵值 ,但仍非正規矩陣。考慮一般情況,為了探討 的特徵值受到微擾矩陣 的影響,在 的前提下,我們可以隨意設定 ,然後觀察收集 的特徵值。這個思想實驗的結果稱為矩陣 的偽譜 (pseudospectrum),有下列三種等價的表達式: 明顯地,當 ,偽譜 收斂至矩陣譜 。本文將證明這三種表達是等價的,並介紹幾個偽譜的性質 (取自[1,2])。

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數值域

本文的閱讀等級:高級 給定一 階矩陣 ,矩陣譜 (spectrum) 是所有特徵值所形成的集合,表示為 ;譜半徑 (spectrum radius) 是包含特徵值的最小半徑 (原點是圓中心),記為 (見“譜半徑與矩陣範數”)。類似矩陣譜的表達方式, 的數值域 (numerical range 或 field of values) 定義如下: , 或以 Rayleigh 商表示為 。 這兩個定義是等價的,證明見“Hermitian 矩陣特徵值的變化界定”。為了測量數值域的大小, 的數值半徑 (numerical radius) 定義為包含數值域的最小圓半徑: 。 矩陣譜 是一離散集合,稍後我們將證明數值域 是一連通緊凸集 (connected compact convex set)。如同矩陣譜的功用,數值域也可以幫助我們了解矩陣的本質,尤其是不具特殊形態的一般矩陣。

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特徵值的擾動分析

本文的閱讀等級:高級 若論方陣最精華的本質,誠然非特徵值莫屬。特徵值決定了矩陣所代表的線性變換的固有特性。特徵值的絕對值 (或稱向徑) 表示線性變換的伸縮大小,特徵值的幅角則表示旋轉強弱 (見“解讀複特徵值”)。若 的所有特徵值的絕對值小於 ,則冪矩陣 將隨 增大而收斂至零矩陣 (見“收斂矩陣”)。若 的所有特徵值的實部是負數,當 ,矩陣指數 趨於零矩陣 (見“線性微分方程的穩定性”)。透過對矩陣特徵值的研究,不僅可以幫助我們了解矩陣的本質,還可以提供解讀複雜動態系統行為的線索。本文探討特徵值的擾動分析,也就是在引入擾動的情況下 (如數值計算的捨入誤差或來自線性系統外部的干擾),設法界定矩陣特徵值的變化範圍。我們將運用矩陣範數、對角化和三角化推導出兩個特徵值變異的上界[1]。

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特殊矩陣 (18):正矩陣

本文的閱讀等級:高級 令 為一 階實矩陣。若每一 ,我們稱 是正矩陣 (positive matrix),記為 。(注意,在其他文章我用 表示 是正定矩陣。) 若每一 ,則 稱為非負矩陣 (nonnegative matrix),記為 。推廣至更一般的情況, 代表每一 , 代表每一 。因為 維實向量可視為 階矩陣,故同樣有正向量和非負向量的概念。相反關係 和 也按類似方式定義。正矩陣和非負矩陣出現於許多應用問題中,例如,馬可夫過程 (見“馬可夫過程”) 和圖論模型的鄰接矩陣 (見“Google 搜尋引擎使用的矩陣運算”,“線性代數在圖論的應用 (一):鄰接矩陣”)。本文介紹 階正矩陣的特徵值和特徵向量性質,這些結果統稱為 Perron 定理[1]。

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譜半徑與矩陣範數

本文的閱讀等級:高級 若 ,我們知道 且 。讀者自然會問:矩陣是否也擁有類似的性質?矩陣範數 (matrix norm) 是一種矩陣「大小」的度量,我們不妨由此著手。令 為一 階矩陣,我們曾經證明:若 ,其中 可為任何標準矩陣範數 (稍後詳述),則 Neumann 無窮級數 收斂 (見“Neumann 無窮級數”)。然而 並非 收斂的必要條件,例如, 的特徵值皆為零且 ,但是 。除了矩陣範數,矩陣的特徵值也具有度量矩陣「大小」的功能。考慮特徵方程 ,則 ,故 決定了向量 的長度伸縮。令 為 的所有相異特徵值所成的集合,稱為矩陣譜 (spectrum),並令 為 的最大絕對特徵值,稱為譜半徑 (spectral radius),即 。 在複數平面上, 的所有特徵值都位於圓心在原點,半徑等於 的圓內。類似矩陣範數,譜半徑同樣可控制冪矩陣 的成長。本文討論兩個問題:(1) 如何利用譜半徑 … Continue reading

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矩陣函數 (上)

本文的閱讀等級:中級 給定二階方陣 ,如何計算 ?(取自交大資訊所2007年入學試題) 我們或許直覺認為 各元不過就是 對應元的餘弦函數,,上例為 。 此定義的缺點在於 未能保留餘弦函數的一些美好性質。舉例而言,既然有 和倍角公式 ,我們自然希望任意方陣 的矩陣函數 和 同樣滿足 和 。但這要如何辦到呢?本文僅解說可對角化矩陣函數,不可對角化矩陣函數涉及 Jordan 形式,將留待下文詳細討論。

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可對角化矩陣的譜分解

本文的閱讀等級:中級 在矩陣分析中,對角化 (diagonalization) 是一個非常重要的概念與工具。如果 階矩陣 相似於一對角矩陣,我們稱 是可對角化矩陣 (diagonalizable matrix),具體地說,存在一同階可逆矩陣 使得 為對角矩陣,意味矩陣 可分解為 。矩陣的對角化與特徵分析有密切的關係,對角矩陣 的主對角元 為 的特徵值,而對角化的變換矩陣 的行向量 (column vector) 為對應特徵值 的特徵向量,。可對角化矩陣的直觀解釋是如果以特徵向量 當作基底,則參考這組基底的線性變換表示矩陣,即特徵值矩陣 ,具有最簡約的主對角形式。本文介紹可對角化矩陣的另一個分解表達式,稱為譜分解 (spectral decomposition) 或譜定理,它的特點是能夠表現更豐富的幾何意義,同時也具備簡化可對角化矩陣函數計算的功用 (見“矩陣函數 (上)”)。

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Neumann 無窮級數

本文的閱讀等級:中級 設 為一 階矩陣,若 ,則 可逆且 , 上式稱為 Neumann 無窮級數。通過證明此命題可以深入瞭解矩陣範數 (norm) 於分析冪矩陣級數收斂性的作用,運用類似手法也可解釋何以矩陣指數 必定收斂。

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