Tag Archives: 秩─零度定理

每週問題 April 24, 2017

證明矩陣積的值域與零空間的維數恆等式。 Let be an matrix and be an matrix. Prove that . Note that and denote the column space and nullspace of , respectively. Advertisements

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每週問題 July 25, 2016

證明一個直覺的命題:若所有的 使得 ,則 。 Suppose that and are complex matrices. If holds for every , prove that .

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每週問題 July 11, 2016

判定一個齊次系統的自由變數 (free variable) 的數目。 Suppose that is the coefficient matrix for a homogeneous system of four equations in six unknowns and suppose that has at least one nonzero row. (a) Determine the fewest number of free variables that are possible. … Continue reading

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答Xiaoyang Su──關於歐拉多面體公式的線性代數證法

網友Xiaoyang Su留言: 請老師指點歐拉多面體公式:頂點數+面數=邊數+2,和綫性代數中的秩─零化度定理的關係是什麽?

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每週問題 August 10, 2015

若 是非零矩陣, 可推論出甚麼結果? Let and be nonzero matrices. If , show that and are singular.

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每週問題 August 3, 2015

這是判定可逆矩陣的問題。 Let be an matrix. If for any nonzero matrix , show that is nonsingular.

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答cwj──關於奇異值分解背後的涵義

網友cwj留言: 周老師,您好!我是大陸的學生,幾乎每週都到您的“線代啟示錄”上光顧至少2次 (我是翻牆過來的,大陸這邊網路把控得很嚴)。您學問廣博,同時嚴謹而認真,真是我學習的榜樣!今天給您寫信是有一個問題要問您,我在看文獻時碰到這樣的一段描述: Given a matrix , decompose into , and by SVD, assuming is . Normalize each column of . Each column unit vector becomes the new representation of the corresponding ( is the th column of ). This … Continue reading

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運用輸入輸出模型活化秩─零度定理

本文的閱讀等級:中級 令 為一個從向量空間 映射至向量空間 的線性變換, 稱為定義域 (domain), 稱為到達域 (codomain)。我們說 的值域 (range 或 image) 為 且 的核 (kernel) 或零空間 (nullspace) 為 。 值域 是 的一個子空間,零空間 是 的一個子空間 (見“子空間的辨識”)。假設 。如果 是 的一組基底,將它擴充為 的一組基底,,我們聲稱 組成 的一組基底。因為 ,我們只需要證明 是一個線性獨立集。考慮 。 因此,。但 是線性獨立集,意味 ,因此 ,推得 … Continue reading

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矩陣與特徵值的指標

本文的閱讀等級:中級 在線性代數中,一 階複矩陣 可以視為線性算子 (linear operator),。線性算子 的值域是矩陣 的行空間,記作 ;線性算子 的核是矩陣 的零空間,記作 (見“線性變換與矩陣的用語比較”)。若 是一可逆矩陣,則 且 ,其中 。若 是不可逆矩陣,則 未能充滿整個 而且 包含非零向量,[1] 且 。秩─零度定理聲明矩陣的秩 (rank) 與零度 (nullity) 之和等於線性算子的定義域的維數 (見“運用輸入輸出模型活化秩─零度定理”): , 其中 ,。另一方面,容斥定理闡明兩個子空間與子空間和以及子空間交集的維數關係 (見“補子空間與直和”)。容斥定理套用至行空間 與零空間 ,如下: 。 因此,,可以推論 同義於 。這個時候,在向量空間 , 是 的一個補子空間,反之亦然,記作 … Continue reading

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每週問題 February 3, 2014

這是利用 Rayleigh 商判斷特徵值分布的問題。 Without computing the eigenvalues, decide how many are positive, negative, and zero for .

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