Tag Archives: 秩分解

等價標準型

本文的閱讀等級:初級 令 和 為 階矩陣。若存在一個 階可逆矩陣 使得 ,我們說 列等價 (row equivalent) 於 (見“矩陣的等價關係”),此名稱的由來係因 是對於 執行的基本列運算的複合 (即基本矩陣的乘積,見“左乘還是右乘,這就是問題所在”)。若存在一個 階可逆矩陣 使得 ,我們說 行等價 (column equivalent) 於 ,因為 是對於 執行的基本行運算的複合。若存在可逆矩陣 和 使得 ,則稱 等價於 。下述定理可用來判定 與 的等價關係。 等價標準型定理:對於任一 階矩陣 ,存在 階可逆矩陣 和 階可逆矩陣 使得 … Continue reading

Posted in 線性代數專欄, 向量空間 | Tagged , , | Leave a comment

AXB=C 有解的充要條件

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階矩陣。給定一 維向量 ,線性方程 有解 (或一致) 若 屬於 的行空間 (column space),即值域 ,反之亦然。令 為 的行向量。線性方程 可表示為 ,也就是說 可由 線性組合而成,故 是 有解的一個充要條件,其中 是合併係數矩陣 與常數向量 的增廣矩陣。除了常見的標準型,線性方程還有其他複雜的形式。令 是 階, 是 階, 是 階矩陣。考慮 , 其中 是 階未知矩陣。給定 ,本文討論矩陣方程式 有解的充要條件。

Posted in 線性代數專欄, 向量空間 | Tagged , , | 7 Comments

可對角化矩陣的譜分解──續篇(下)

本文的閱讀等級:中級 我們曾經在“可對角化矩陣的譜分解──續篇(上)”證明譜定理 (spectrum theorem) 的反向命題:若 階矩陣 可表示為 , 其中 為相異數, 是非零矩陣並滿足 ,,以及 ,則 可對角化 (若未註明階數,以下 表示 階單位矩陣 )。本文介紹一個採用建構式的證明,我們的思路是從給定條件先推論 是冪等 (idempotent) 矩陣,從而導出 的對角化形式 ,其中 ,每一 ,表明 是 的特徵值, 是特徵向量矩陣。這個證明所使用的線性代數定理與分析方法包括分塊矩陣的保秩變換、秩─零度定理、可對角化矩陣的成立條件、秩分解 (rank decomposition),以及透過相似變換用跡數來計算秩。為便於閱讀,我將證明分成幾個步驟。(本文的證明由網友Meiyue Shao提供,原始文本請見“Spectral_decomposition”。)

Posted in 特徵分析, 線性代數專欄 | Tagged , , , | 5 Comments

Moore-Penrose 偽逆矩陣

本文的閱讀等級:高級 若 為一個 階矩陣,且 ,則 稱為滿秩 (full rank),此時存在唯一一個 階矩陣 使得 ,我們稱 為 的逆矩陣或反矩陣 (inverse),記為 。方陣的逆矩陣如何延伸推廣至 階矩陣 ?最直接的方法是求一個 階矩陣 使 越接近零矩陣越好。這個概念可具體化為下列最佳化問題: , 其中 表示 Frobenius 範數 (見“矩陣範數”)。為了獲得唯一解,我們另主張 必須具有最小的 Frobenius 範數。將 以行向量 (column vector) 表示為 ,則 , 其中 是歐幾里得空間 的第 個標準單位向量 (第 … Continue reading

Posted in 線性代數專欄, 二次型 | Tagged , , , | 3 Comments

秩分解──目視行秩等於列秩

本文的閱讀等級:初級 矩陣的行空間的維數稱為行秩 (column rank),列空間的維數稱為列秩 (row rank)。子空間的維數由最大的線性獨立的向量數決定,“行秩=列秩”一文曾基於此性質通過操作矩陣乘法運算證明了矩陣的行秩等於列秩。證明歸證明,讀者心中可能依然困惑:「矩陣的線性獨立行向量數怎麼會恰好等於線性獨立的列向量數呢?」本文再提供一個論證,想法很簡單:利用高斯消去法挑選出矩陣的線性獨立行與列,並以一個特殊分解式呈現獨立行與獨立列。這個證明屬計算導向,雖未直接表達行秩等於列秩的幾何特性,但由所得的矩陣分解式我們可以「目視」原矩陣的行空間和列空間,兩者確實擁有相等的基底向量數。

Posted in 線性代數專欄, 向量空間 | Tagged , , , , , , , , | 2 Comments