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每週問題 December 14, 2015

這是可交換矩陣的秩不等式證明問題。 Let and be matrices. If , show that . Advertisements

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每週問題 December 7, 2015

證明分塊上三角矩陣的秩不等式。 Let and be matrices. Show that for any matrix , .

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每週問題 November 30, 2015

若 同時是 的左逆與右逆,則 和 是同階方陣。 If and are two matrices such that and , show that .

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每週問題 November 16, 2015

證明 的矩陣秩關係。 Let and be matrices. Show that .

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每週問題 November 2, 2015

證明 和 有相同的矩陣秩。 Let and be matrices. Show that .

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每週問題 December 1, 2014

本週問題是計算一棋盤狀特殊矩陣的特徵多項式。 Let be an matrix, in which if is even, and if is odd. For , find the eigenvalues of .

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幾何重數不大於代數重數的證明

本文的閱讀等級:中級 給定一個 階矩陣 ,特徵值 是特徵多項式 的根,重根數稱為代數重數 (algebraic multiplicity)。對應特徵值 ,所能找到最大的線性獨立向量數,也就是特徵空間的維數 ,稱為 的幾何重數 (geometric multiplicity)。見下例, 。 上三角矩陣的主對角元為其特徵值,可知 的特徵值為 ;特徵值 的代數重數是 ,特徵值 的代數重數是 。對應特徵值 , 有一個特徵向量 ,幾何重數為 ;對應特徵值 , 有一個特徵向量 ,幾何重數為 。本文利用矩陣三角化證明:對應每一個特徵值,幾何重數必不大於代數重數。(其他證法請參閱“特徵值的代數重數與幾何重數”,“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”,“拒絕行列式的特徵分析”。)

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每週問題 October 27, 2014

若 和 是同尺寸矩陣,證明 。 Let and be matrices. Show that .

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每週問題 August 4, 2014

這是矩陣秩的計算問題,取自“台聯大2014年碩士班招生考試試題 (電機類工程數學D)”。 Let . Find .

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運用輸入輸出模型活化秩─零度定理

本文的閱讀等級:中級 令 為一個從向量空間 映射至向量空間 的線性變換, 稱為定義域 (domain), 稱為到達域 (codomain)。我們說 的值域 (range 或 image) 為 且 的核 (kernel) 或零空間 (nullspace) 為 。 值域 是 的一個子空間,零空間 是 的一個子空間 (見“子空間的辨識”)。假設 。如果 是 的一組基底,將它擴充為 的一組基底,,我們聲稱 組成 的一組基底。因為 ,我們只需要證明 是一個線性獨立集。考慮 。 因此,。但 是線性獨立集,意味 ,因此 ,推得 … Continue reading

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