Tag Archives: 等價標準型

每週問題 December 7, 2015

證明分塊上三角矩陣的秩不等式。 Let and be matrices. Show that for any matrix , . Advertisements

Posted in pow 向量空間, 每週問題 | Tagged , | 4 Comments

等價標準型

本文的閱讀等級:初級 令 和 為 階矩陣。若存在一個 階可逆矩陣 使得 ,我們說 列等價 (row equivalent) 於 (見“矩陣的等價關係”),此名稱的由來係因 是對於 執行的基本列運算的複合 (即基本矩陣的乘積,見“左乘還是右乘,這就是問題所在”)。若存在一個 階可逆矩陣 使得 ,我們說 行等價 (column equivalent) 於 ,因為 是對於 執行的基本行運算的複合。若存在可逆矩陣 和 使得 ,則稱 等價於 。下述定理可用來判定 與 的等價關係。 等價標準型定理:對於任一 階矩陣 ,存在 階可逆矩陣 和 階可逆矩陣 使得 … Continue reading

Posted in 線性代數專欄, 向量空間 | Tagged , , | Leave a comment

每週問題 July 20, 2015

這是等價矩陣的問題。 Let and be matrices, . We say that and are equivalent if there exist nonsingular matrices and such that . Show that every matrix is equivalent to a matrix where all diagonal elements are zero.

Posted in pow 線性方程與矩陣代數, 每週問題 | Tagged | Leave a comment

AXB=C 有解的充要條件

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階矩陣。給定一 維向量 ,線性方程 有解 (或一致) 若 屬於 的行空間 (column space),即值域 ,反之亦然。令 為 的行向量。線性方程 可表示為 ,也就是說 可由 線性組合而成,故 是 有解的一個充要條件,其中 是合併係數矩陣 與常數向量 的增廣矩陣。除了常見的標準型,線性方程還有其他複雜的形式。令 是 階, 是 階, 是 階矩陣。考慮 , 其中 是 階未知矩陣。給定 ,本文討論矩陣方程式 有解的充要條件。

Posted in 線性代數專欄, 向量空間 | Tagged , , | 7 Comments

AB 相似於 BA 的充要條件

本文的閱讀等級:中級 令 和 為 階矩陣。矩陣乘積 和 有相同的特徵值 (包含相重特徵值),但並不總是相似。例如, 且 ,則 和 的特徵多項式同為 。觀察出 不可對角化而 可對角化,表明 和 不具相似性。本文介紹 相似於 的一個充分與必要條件:,,並討論幾個相似性的判定方式 (充分條件)。

Posted in 線性代數專欄, 典型形式 | Tagged , , | Leave a comment

矩陣的數值秩

本文的閱讀等級:高級 1879年,德國數學家弗羅貝尼烏斯 (Ferdinand Georg Frobenius) 提出秩 (rank) 作為矩陣所攜帶訊息量的一種測度。一矩陣 的秩,記作 ,定義為最大可逆子陣的階數,即最大非零餘子式 (minor) 的行列式階數,因此也稱為行列式秩。近代線性代數已捨棄行列式定義,改用較富幾何意義的向量空間定義:秩是矩陣的行空間 (column space) 維數,同樣也是列空間 (row space) 維數,換句話說,秩是最大的線性獨立行 (列) 向量數 (見“你不能不知道的矩陣秩”)。一般基礎線性代數教科書多以高斯消去法揭示矩陣秩 (見“利用行列式計算矩陣秩”),但實際數值計算卻不採用高斯消去法,原因在於 並非 的連續函數。舉例來說,。若 ,則 。若 ,則 。這個例子顯示極微小的擾動量便足以造成矩陣秩的跳躍。由於計算機的浮點運算難免引入誤差,我們必須審慎處理矩陣秩的數值計算問題。本文介紹奇異值分解在矩陣秩的擾動分析以及數值計算的應用,原因無他,奇異值分解是現今最可靠的數值秩算法 (另一個有效的算法是計算成本較低的 QR 分解[1])。

Posted in 線性代數專欄, 數值線性代數 | Tagged , , , , , | Leave a comment

每週問題 December 9, 2013

這是關於等價標準型和奇異值分解的應用問題。 Let be an matrix of rank . Prove that there exists an matrix of rank such that is invertible.

Posted in pow 向量空間, 每週問題 | Tagged , , | Leave a comment

秩分解──目視行秩等於列秩

本文的閱讀等級:初級 矩陣的行空間的維數稱為行秩 (column rank),列空間的維數稱為列秩 (row rank)。子空間的維數由最大的線性獨立的向量數決定,“行秩=列秩”一文曾基於此性質通過操作矩陣乘法運算證明了矩陣的行秩等於列秩。證明歸證明,讀者心中可能依然困惑:「矩陣的線性獨立行向量數怎麼會恰好等於線性獨立的列向量數呢?」本文再提供一個論證,想法很簡單:利用高斯消去法挑選出矩陣的線性獨立行與列,並以一個特殊分解式呈現獨立行與獨立列。這個證明屬計算導向,雖未直接表達行秩等於列秩的幾何特性,但由所得的矩陣分解式我們可以「目視」原矩陣的行空間和列空間,兩者確實擁有相等的基底向量數。

Posted in 線性代數專欄, 向量空間 | Tagged , , , , , , , , | 2 Comments

每週問題 April 20, 2009

本週問題是利用消去法求等價標準型。 pow-april-20-09 點選解答↓ powsol-april-20-09

Posted in pow 向量空間, 每週問題 | Tagged | Leave a comment