Tag Archives: 等距同構

保長、保角與共形映射

本文的閱讀等級:中級 令 為一 階實矩陣。我們可以將 視為一個從幾何向量空間 映至 的線性變換:,其中 。如果線性變換 不改變向量長度,則 稱為保長 (length-preserving) 映射或等距同構 (isometry)。保長映射 有下列等價的定義方式 (見“等距同構與么正矩陣”): 是一實正交矩陣 (orthogonal matrix),即 。 對於每一 ,。 對於任何 ,。 對於任何 ,。 保長映射的定義條件相當嚴苛,我們可以將它稍微放鬆。兩個實向量 和 的內積定義為 (見“內積的定義”) , 其中 是 和 的夾角。對於任意非零向量 ,若線性變換 不改變 和 的夾角,也就是說, , 則 … Continue reading

Posted in 線性代數專欄, 仿射幾何 | Tagged , , , , , , | 2 Comments

等距同構與么正矩陣

本文的閱讀等級:中級 考慮定義於 的線性變換,以 階變換矩陣 表示。哪些線性變換保留兩個向量之間的距離?精確地說,對於任意 維向量 ,我們想知道 必須具備甚麼條件方使得 。 滿足上述關係的線性變換稱為等距同構 (isometry)、正交變換 (orthogonal transformation) 或保距映射 (distance preserving)。相同的問題形式可以放在複數系來討論:哪些複數 使得 ,其中 ?明顯地, 必須滿足 ,或 。共軛複數 類比共軛轉置 ,倒數 類比逆矩陣 (見“矩陣與複數的類比”),則 可類比 ,稱之為么正矩陣 (unitary matrix,或酉矩陣,見“特殊矩陣 (3):么正矩陣 (酉矩陣)”)。如果 是一實矩陣,則 ,稱為正交矩陣 (orthogonal matrix)。下面證明等距同構與么正矩陣是等價的概念。

Posted in 線性代數專欄, 內積空間 | Tagged , , , | Leave a comment