Tag Archives: 簡約列梯形式

本文的閱讀等級：初級 令 為一 階實矩陣。矩陣 的行空間 (column space) 記為 ，零空間 (nullspace) 記為 。對於 階轉置矩陣 ， 稱為 的列空間 (row space)， 稱為 的左零空間 (left nullspace)[1]。以上是實矩陣 的四個基本子空間，其中列空間 和零空間 是 的子空間，行空間 和左零空間 是 的子空間。考慮下面兩個計算問題： 給定一 維向量 ，求線性方程 的通解 ，其中 為一特解，滿足 ， 稱為齊次解，滿足 ，即 。 求矩陣 … Continue reading →

本文的閱讀等級：初級 令 為一個 階矩陣。齊次方程 的所有解組成的集合稱為矩陣 的零空間 (nullspace) 或核 (kernel)，記作 。在線性代數中，零空間的計算主要出現於求線性方程 的通解，以及方陣 () 對應特徵值 的 (非零) 特徵向量 使得 。本文介紹兩個基於簡約列梯形式 (reduced row echelon form) 的零空間快捷算法。

本文的閱讀等級：初級 令 為一個向量空間。給定向量集合 ，，若僅存在唯一的數組 使得 ， 我們稱 是線性獨立的或線性無關的 (linearly independent)，否則稱之為線性相關的或線性相依的 (linearly dependent)。線性獨立集不具有線性相關性，而線性相關集中至少有一個向量可表示為其餘向量的線性組合 (見“線性獨立俱樂部”)。假設 且 為 的一組基底。任一向量 與其參考基底 的座標向量 有一對一的對應關係 (見“同構的向量空間”)。具體地說，若 ，則 。為裨益矩陣運算，我們可以將每一 用座標向量 表示。底下討論針對座標映射後的幾何向量空間 。如欲延伸至 ，將轉置 改成共軛轉置 即可。   對於 ，其中 ，本文探討底下三個問題： 如何判定 是否為一個線性獨立集？ 如何從 挑選出最大的線性獨立子集？也就是說，該線性獨立子集包含最多的向量？ 如何增添向量至 的最大線性獨立子集使之成為 的一組基底？

本文的閱讀等級：初級 令 為一個 階實矩陣，或說 是一個線性變換 (見“線性變換與矩陣的用語比較”)。矩陣 的值域 (range) 即為其行空間 (column space) 。 將矩陣 以行向量 (column vector) 表示為 ，其中 ， 就是行向量 的線性組合形成的集合，因為 。 矩陣 的核 (kernel) 等於其零空間 (nullspace) 。 對於 階轉置矩陣 ， 稱為 的列空間 (row space)， 稱為 的左零空間 (left nullspace)。為什麼有這個奇怪的名稱？考慮 ，等號兩邊取轉置可得 … Continue reading →