Tag Archives: 簡約列梯形式

每週問題 September 8, 2014

這是求簡約列梯形式 (reduced row echelon form) 的問題。 Let be an matrix. (a) What is the reduced row echelon form of ? Write down in block matrix form. (b) What is the reduced row echelon form of ? (c) Can you tell … Continue reading

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每週問題 April 28, 2014

這是計算簡約列梯形式 (reduced row echelon form) 的問題。 Let . Determine the reduced row echelon form of .

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矩陣的四個基本子空間的正交投影矩陣

本文的閱讀等級:中級 令 為幾何向量空間 的一個子空間,且 是 的正交補餘 (orthogonal complement),意思是 且 。換一個說法,任一 可唯一分解成 ,其中 ,,且 。令 表示映射至子空間 的 階正交投影矩陣。下列性質成立 (見“正交投影矩陣的性質與界定”): 對於每一 ,。 對於每一 ,。 是實對稱冪等矩陣,即 。 且 。 若 () 且 是 的一組基底,將所有的基底向量組成 階矩陣 ,正交投影矩陣 可由下列公式算得 (推導見“線代膠囊──正交投影矩陣”): 。 值得注意的是 不因所選擇的基底 (即 矩陣) … Continue reading

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線性方程 Ax=b 的通解與矩陣 A 的四個基本子空間整合算法

本文的閱讀等級:初級 令 為一 階實矩陣。矩陣 的行空間 (column space) 記為 ,零空間 (nullspace) 記為 。對於 階轉置矩陣 , 稱為 的列空間 (row space), 稱為 的左零空間 (left nullspace)[1]。以上是實矩陣 的四個基本子空間,其中列空間 和零空間 是 的子空間,行空間 和左零空間 是 的子空間。考慮下面兩個計算問題: 給定一 維向量 ,求線性方程 的通解 ,其中 為一特解,滿足 , 稱為齊次解,滿足 ,即 。 求矩陣 … Continue reading

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零空間的快捷算法

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階矩陣。齊次方程 的所有解形成的集合稱為零空間 (nullspace) 或核 (kernel),記為 。在線性代數中,零空間的計算主要出現於求線性方程 的通解,以及方陣 () 對應特徵值 的 (非零) 特徵向量 使得 。本文介紹兩個基於簡約列梯形式 (reduced row echelon form) 的零空間快捷算法。

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線性獨立向量集的判定與算法

本文的閱讀等級:初級 令 為一個向量空間。給定向量集合 ,,若僅存在唯一的數組 使得 , 我們稱 是線性獨立的或線性無關的 (linearly independent),否則稱之為線性相關的或線性相依的 (linearly dependent)。線性獨立集不具有線性相關性,而線性相關集中至少有一個向量可表示為其餘向量的線性組合 (見“線性獨立俱樂部”)。假設 且 為 的一組基底。任一向量 與其參考基底 的座標向量 有一對一的對應關係 (見“同構的向量空間”)。具體地說,若 ,則 。為裨益矩陣運算,我們可以將每一 用座標向量 表示。底下討論針對座標映射後的幾何向量空間 。如欲延伸至 ,將轉置 改成共軛轉置 即可。   對於 ,其中 ,本文探討底下三個問題: 如何判定 是否為一個線性獨立集? 如何從 挑選出最大的線性獨立子集?也就是說,該線性獨立子集包含最多的向量? 如何增添向量至 的最大線性獨立子集使之成為 的一組基底?

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答andy6829──關於實矩陣的列空間是零空間的正交補餘

網友andy6829留言: 周老師您好,我最近從一本書籍 (有關錯誤更正碼的線性區塊碼) 看到作者對某個向量空間的敘述,但我左想右想還是不知道作者想表達的意思是什麼,可以請問老師下列的敘述代表著什麼意思呢? 對任何一個由 個線性獨立的列向量所組成的 矩陣 ,均存在一個由 個線性獨立的列向量組成的 矩陣 (為甚麼?),使得 的列空間的任意向量與 的列向量正交,並且任何與 的列向量正交的向量都在 的列空間中 (為甚麼?): 的列空間等於 的零空間。 我看過您所發表的〈行空間與零空間的互換表達〉,感覺好像和我所要問的問題很類似,但我還是百思不得其解,可以請老師給我一些提示 (hint),好使我了解其中的意義嗎?謝謝周老師的幫忙。

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高斯─約當法

本文的閱讀等級:初級 在解線性方程組的應用上,高斯─約當法[1] (Gauss-Jordan method) 是高斯消去法的延伸 (見“高斯消去法”),其目的要得到最簡約的列等價方程組。高斯消去法產生梯形矩陣後,我們可以繼續執行取代運算將軸元 (pivot) 上方的元悉數消去,並使用伸縮運算迫使軸元為 。高斯─約當法產生的矩陣稱為簡約列梯形式 (reduced row echelon form),由下列四個條件定義 (前兩個條件即為梯形矩陣的性質): 零列置於矩陣最底下。 每列軸元的位置都位於其上方各列軸元的右側。 軸元等於 。 軸元其上方與下方的元皆為零。 下面列舉兩個簡約列梯形式。數字 表示軸元,每一軸元上方和下方的元皆為零,其他各元 (以 表示) 可以是任意數: 。

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高斯消去法

本文的閱讀等級:初級 解線性方程組是線性代數處理的核心問題之一。考慮包含 個未知數 的線性方程式 , 其中係數 與 是給定的純量 (實數或複數)。若線性方程組有 個方程式,則可表示為陣列形式: 線性方程組的解 必須滿足上面 個方程式,也就是說方程組的解是 個方程式各自解的交集。線性方程組的系統化解法最早出現於公元前100年的中國古籍《九章算術》(見“《九章算術》的方程術”),隨後傳入日本和歐洲。今天,我們稱此算法為高斯消去法或高斯消元法 (Gaussian elimination) 以紀念德國數學家高斯 (Carl Friedrich Gauss) 的廣泛使用故而推廣了這個方法。

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矩陣的四個基本子空間基底算法

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階實矩陣,或說 是一個線性變換 (見“線性變換與矩陣的用語比較”)。矩陣 的值域 (range) 為其行空間 (column space) , 將 以行向量 (column vector) 表示為 ,其中 , 就是行向量 的線性組合形成的一個集合,因為 。 矩陣 的核 (kernel) 為其零空間 (nullspace) 。 對於 階轉置矩陣 , 稱為 的列空間 (row space), 稱為 的左零空間 (left nullspace)。設 ,等號兩邊取轉置可得 … Continue reading

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