Tag Archives: 線代膠囊

線代膠囊──奇異值分解

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階複矩陣。下式稱為 的奇異值分解 (singular value decomposition,簡稱 SVD): , 其中 是一個 階么正矩陣 (unitary matrix),滿足 , 稱為左奇異向量; 是一個 階么正矩陣,滿足 , 稱為右奇異向量; 是一個 階矩陣,, 和 ,,稱為奇異值。 若 是實矩陣,只要將 改為 即可,這時 和 稱為正交矩陣 (orthogonal matrix)。下面介紹一個簡短的奇異值分解推導法。 Advertisements

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線代膠囊──正交投影矩陣

本文的閱讀等級:中級 令 階實矩陣 有線性獨立的行向量 (column vector)。如何求得 階正交投影矩陣 ,其值域為 的行空間?   線代箴言:「工欲善其事,必先利其器。」我們先討論正交投影矩陣的性質。這裡面包含兩個子問題:一般的投影矩陣有甚麼性質?加入正交條件後,又多了甚麼性質?投影矩陣 將 維向量 映射至 ,其中 是 的值域 (行空間),而且 經 的再次投影恆定不變 (投影兩次等於投影一次),即 。 因為 是任意向量,可知 ,稱為冪等矩陣 (idempotent matrix)。若 是一正交投影矩陣,投影後的殘量 必定正交於投影子空間 ,其中成員可表示為 (這裡 是一 維向量),於是有 。 因為 和 是任意向量,可知 。但 是對稱矩陣,故 。

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線代膠囊──QR 分解

本文的閱讀等級:中級 假設 階實矩陣 有線性獨立的行向量 (column vector)。如何求得 QR 分解 ,其中 階矩陣 的行向量組成單範正交集 (orthonormal set), 為 階上三角矩陣?   將 和 以行向量表示,並以上三角矩陣 聯繫, 即為 。 乘開上式, 。 我們的問題要解出 和 。但這不是一般所見的線性方程組,該怎麼辦呢?

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線代膠囊──線性變換表示矩陣

本文的閱讀等級:初級 令 是從向量空間 映至向量空間 的一線性變換。如何將線性變換 表示成矩陣 ?   線代箴言:「基底無敵。」針對一向量空間 ,一組基底 是屬於 的向量集,滿足兩個性質:第一, 是一個線性獨立集;第二, 的所有線性組合填滿 ,或者說 生成 (span) 。

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