Tag Archives: 線代膠囊

線代膠囊──奇異值分解

Posted on 12/18/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 令 為一個 階複矩陣。下式稱為 的奇異值分解 (singular value decomposition，簡稱 SVD)： ， 其中 是一個 階么正矩陣 (unitary matrix)，滿足 ， 稱為左奇異向量； 是一個 階么正矩陣，滿足 ， 稱為右奇異向量； 是一個 階矩陣，， 和 ，，稱為奇異值。 若 是實矩陣，只要將 改為 即可，這時 和 稱為正交矩陣 (orthogonal matrix)。下面介紹一個簡短的奇異值分解推導法。

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線代膠囊──正交投影矩陣

Posted on 05/07/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 令 階實矩陣 有線性獨立的行向量 (column vector)。如何求得 階正交投影矩陣 ，其值域為 的行空間？   線代箴言：「工欲善其事，必先利其器。」我們先討論正交投影矩陣的性質。這裡面包含兩個子問題：一般的投影矩陣有甚麼性質？加入正交條件後，又多了甚麼性質？投影矩陣 將 維向量 映射至 ，其中 是 的值域 (行空間)，而且 經 的再次投影恆定不變 (投影兩次等於投影一次)，即 。 因為 是任意向量，可知 ，稱為冪等矩陣 (idempotent matrix)。若 是一正交投影矩陣，投影後的殘量 必定正交於投影子空間 ，其中成員可表示為 (這裡 是一 維向量)，於是有 。 因為 和 是任意向量，可知 。但 是對稱矩陣，故 。

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線代膠囊──QR 分解

Posted on 05/06/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 假設 階實矩陣 有線性獨立的行向量 (column vector)。如何求得 QR 分解 ，其中 階矩陣 的行向量組成單範正交集 (orthonormal set)， 為 階上三角矩陣？   將 和 以行向量表示，並以上三角矩陣 聯繫， 即為 。 乘開上式， 。 我們的問題要解出 和 。但這不是一般所見的線性方程組，該怎麼辦呢？

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線代膠囊──線性變換表示矩陣

Posted on 05/03/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：初級 令 是一個從向量空間 映至向量空間 的線性變換。如何將線性變換 表示成矩陣 ？   線代箴言：「基底無敵。」針對一個向量空間 ，一組基底 是屬於 的向量集，滿足兩個性質：第一， 是一個線性獨立集；第二， 的所有線性組合填滿 ，或者說 生成 (span) 。

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