Tag Archives: 線性方程

每週問題 June 27, 2016

給定不可逆矩陣 ,線性方程 是否可能有唯一解? Let be an matrix. If has nonzero solutions, is it possible that has a unique solution for some vector ? Advertisements

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Kaczmarz 算法

本文的閱讀等級:中級 Kaczmarz 算法是線性方程 的一種迭代解法,1937年由波蘭數學家科區馬茲 (Stefan Kaczmarz) 所提出[1]。1970年,戈登 ( Richard Gordon)、本德爾 (Robert Bender) 和赫爾曼 (Gabor Herman) 三人重新發現此法,稱之為代數重建技術 (algebraic reconstruction technique),主要應用於電腦斷層掃描的影像重建[2]。我們以包含兩個未知數和兩個方程式的線性方程組 說明 Kaczmarz 算法的基本原理。考慮 , 其中係數 和常數 是實數。當係數矩陣可逆時,線性方程的解為下列兩個超平面 (此例為 平面的二直線) 的交點: 見下圖,給定任一初始點 ,連續交互正交投影至超平面 和 可得一向量序列 ,。當 ,,此即 的解。

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線性方程 Ax=b 的通解與矩陣 A 的四個基本子空間整合算法

本文的閱讀等級:初級 令 為一 階實矩陣。矩陣 的行空間 (column space) 記為 ,零空間 (nullspace) 記為 。對於 階轉置矩陣 , 稱為 的列空間 (row space), 稱為 的左零空間 (left nullspace)[1]。以上是實矩陣 的四個基本子空間,其中列空間 和零空間 是 的子空間,行空間 和左零空間 是 的子空間。考慮下面兩個計算問題: 給定一 維向量 ,求線性方程 的通解 ,其中 為一特解,滿足 , 稱為齊次解,滿足 ,即 。 求矩陣 … Continue reading

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線性代數在數值分析的應用 (二):Dirichlet 問題

本文的閱讀等級:中級 在物理學中,等方向均勻介質的一點的溫度變化由熱傳導方程 (heat equation) 所描述[1]: , 其中 是點 於時間 的溫度, 是一正數,稱為熱擴散率 (thermal diffusivity), 是 Laplace 算子 (或稱 Laplacian),定義如下: 。 淺白地說,Laplace 算子度量一點的函數值與其鄰近點的差異。若點 處於穩態,即該點溫度不隨時間改變,則 滿足 Laplace 方程 。如果二階連續可導函數 ( 為一開集) 滿足 Laplace 方程,我們稱之為調和函數 (harmonic function)。本文將探討簡化後的二維 Dirichlet 問題[2]:尋找一調和函數 ,使其在一正方形區域內所有點皆滿足 ,且邊界滿足給定條件 。

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定常迭代法──線性方程的數值解法

本文的閱讀等級:中級 高斯消去法是當今最常被使用的線性方程解法 (見“高斯消去法”),它是一種直接法,即一次性地解決問題。對於一個 階方陣,高斯消去法耗用的運算量是 。如果我們面對的是一個大型的稀疏矩陣,這時可用迭代法來求解。所謂迭代法是指從一個初始估計值出發,尋找一系列近似解以期解決問題的方法。大致上,應用於解線性方程的迭代法可區分為兩類:定常迭代法 (stationary iterative method) 和 Krylov 法。定常迭代法相對古老,容易瞭解與實現,惟效果通常不佳。Krylov 法相對年輕,雖然較不易理解分析,但效果普遍優異。本文介紹定常迭代法,並討論其中三種主要方法。

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線性代數在數值分析的應用 (一):兩點邊值問題

本文的閱讀等級:初級 數值分析 (numerical analysis) 是一門研究連續數學問題演算法的科目,內容包羅萬象,如解非線性方程、解線性或非線性聯立方程組、插值 (interpolation) 與曲線配適 (curve fitting)、數值微分與積分、常微分方程與偏微分方程的數值解、邊值 (boundary-value) 與特徵值 (characteristic-value) 問題等。線性代數和數值分析有極密切的關係,一方面數值分析涵蓋一些數值線性代數問題,另一方面數值分析的部分演算法建立於線性代數之上。本文介紹線性代數在數值分析中的一個簡單應用──將兩點邊值 (two-point boundary-value) 問題轉換為線性聯立方程組的求解問題。

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