Tag Archives: 線性泛函

每週問題 January 11, 2016

證明秩─1線性算子的兩個性質。 Let be a linear operator of rank one. Prove the following statements. (a) There exists a unique scalar such that . (b) If , then is invertible, where is the identity transformation. Advertisements

Posted in pow 線性變換, 每週問題 | Tagged , , | Leave a comment

每週問題 April 14, 2014

這是關於對偶基底的問題。 The vectors , , and form a basis of . If is the dual basis, and if , find , , and .

Posted in pow 線性變換, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

雙重對偶

本文的閱讀等級:高級 令 為一個有限維向量空間。對偶空間 (dual space) 是定義於 的所有線性泛函所形成的向量空間 (見“線性泛函與對偶空間”)。對偶空間 同構於 (isomorphic) 向量空間 ,這意味 ,具體的表現是:給定 的任一組基底 ,在 上存在唯一與之對應的對偶基底 。反過來說,對偶空間 的任一組基底是否為 的某一組基底的對偶基底?回答這個問題的關鍵在於引進一個新概念,名為雙重對偶 (double dual) 或第二對偶 (second dual)。顧名思義,雙重對偶就是套用兩次對偶於向量空間 ,即對偶空間 的對偶空間,記為 或 。換句話說,雙重對偶 是定義於 的線性泛函形成的向量空間 的線性泛函所構成的向量空間。本文的主題在探討向量空間 和雙重對偶 之間的關係,預備知識包括線性泛函、對偶空間和對偶基底,請讀者先參閱“線性變換的轉置”的前半段。   何謂對偶空間的對偶空間?如何理解這個概念?聽聽莊子怎麼說。《莊子•齊物論》記載「莊周夢蝶」的故事: 昔者莊周夢為蝴蝶,栩栩然蝴蝶也,自喻適志與!不知周也。俄然覺,則蘧蘧然周也。不知周之夢為蝴蝶與,蝴蝶之夢為周與?周與蝴蝶,則必有分矣。此之謂物化。 在電影《全面啟動》(Inception,中國大陸譯《盜夢空間》),李奧納多•狄卡­皮歐 (Leonardo DiCaprio) 飾演的唐姆•考柏 … Continue reading

Posted in 線性變換, 線性代數專欄 | Tagged , , , | Leave a comment

每週問題 April 7, 2014

這是線性泛函的問題。 Define a non-zero linear functional on such that if and , then .

Posted in pow 線性變換, 每週問題 | Tagged | Leave a comment

線性變換的轉置

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階矩陣且 和 是 維向量。通過矩陣乘法,矩陣 將 維向量 映射至 維向量 。矩陣 是一個從幾何向量空間 映至 的線性變換,因為矩陣乘法滿足 且 , 是純量。類似地, 階轉置矩陣 (transpose) 是一個從 映至 的線性變換 (見“轉置矩陣的意義”)。既然每一個矩陣都是線性變換,我們可以反過來問:對於線性變換 ,其中 和 是有限維向量空間,如何定義線性變換 的轉置變換?1970年代以前出版的線性代數教本經常從線性變換的轉置來定義矩陣的轉置[1]。這套論述固然嚴謹扎實,但必須建立在線性泛函 (linear functional) 和對偶空間 (dual space) 的基礎上,對於非數學專業的讀者多少總會增加負擔,故現今大概只有專為數學系課程撰寫的教科書才會納入這個論點[2]。在開始討論之前,我們先回顧相關的線性泛函和對偶空間的預備知識 (詳見 “線性泛函與對偶空間”)。

Posted in 線性變換, 線性代數專欄 | Tagged , , , , , | Leave a comment

每週問題 October 14, 2013

這是關於線性泛函的系列問題。 Let be an inner product vector space over . A linear functional on is a linear transformation from to and the dual space of , denoted by , is the vector space of all linear functionals on . (a) … Continue reading

Posted in pow 內積空間, 每週問題 | Tagged , , | Leave a comment

線性泛函與伴隨

本文的閱讀等級:高級 線性泛函 (linear functional) 為一從向量空間 映射至純量 的線性變換 (見“線性泛函與對偶空間”),如下例, 是一個定義於 的線性泛函。我們經常將 視為向量 和 的內積,也就是說,對於 ,線性泛函 可寫成 ,其中 。根據這個觀察,我們推想定義於內積空間 的線性泛函 ,是否都可以表示為 ?這裡 代表廣義內積運算 (見“內積的定義”)。再看另一個例子,令 是所有二次實多項式形成的向量空間,其中多項式 和 的內積定義為 對於 ,考慮以下函數 因為積分是線性運算,可知 是一個定義於 的線性泛函。同樣的問題,線性泛函 可否表示成 其中 屬於 ?注意, 不屬於 ,此例 不像前一個例子那麼容易確定,因此更凸顯下面這個定理的威力──它不僅證明原先的猜想,同時也給出一個計算方法。

Posted in 線性代數專欄, 內積空間 | Tagged , , | Leave a comment

線性泛函與對偶空間

本文的閱讀等級:中級 考慮包含 個變數的 個線性聯立方程: 將列指標去除,針對單一方程式 , 等號左邊算式有兩種解釋方式。我們可以單純地將 看成是向量點積 (dot product,或稱內積),也就是 階矩陣和 階矩陣乘法: 。 如果所有的係數 與未知數 皆為實數,由此可推演出 的列空間 (row space) 為零空間 (nullspace) 的正交補餘 (見“線性代數基本定理(二)”)。另一種解釋方式是將等號左側視為 維向量 的函數,表示如下: 。 很容易確認 是一個從 映至 的線性變換,記為 。為了與一般線性變換有所區隔,數學家稱這種特殊的線性變換為線性泛函 (linear functional),簡而言之,線性泛函即是將向量映射至純量的線性函數。

Posted in 線性變換, 線性代數專欄 | Tagged , , , , | 4 Comments