Tag Archives: 線性獨立

每週問題 August 15, 2016

為甚麼 是一個線性相關集? Let be the set containing only the zero vector. (a) Explain why must be linearly dependent. (b) Explain why the empty set is a basis for . Advertisements

Posted in pow 向量空間, 每週問題 | Tagged | 1 Comment

每週問題 March 21, 2016

在有限維向量空間的任何一個線性獨立向量集都可擴大成為一組基底。 If is a finite-dimensional vector space and if is any set of linearly independent vectors in , prove that, unless already form a basis, we can find vectors so that is a basis.

Posted in pow 向量空間, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

每週問題 February 29, 2016

證明一線性相關的多項式集合的一個充分條件。 Let be a subset of the vector space of all polynomials whose degrees do not exceed . If the polynomials in share a common root , then is linearly dependent.

Posted in pow 向量空間, 每週問題 | Tagged | Leave a comment

答erofish──關於 Gramian 行列式不為零的充要條件

網友erofish留言: 老师您好!非常喜欢您在博客上讲述的与线代有关的知识。最近学习数值分析的课程遇到了 Gram 矩阵,书上仅仅从内积空间的4个性质 (正定,齐次,分配,交换) 就证明了 Gram 矩阵行列式不为 的充要条件是 线性无关。我自己做推导却怎么也推不出来。不知道您能否在这篇博文 (見“特殊矩陣 (14):Gramian 矩陣”) 里面讲的更加详细一点,谢谢!

Posted in 答讀者問, 內積空間 | Tagged , | 2 Comments

利用 Vandermonde 矩陣證明相異特徵值對應線性獨立的特徵向量

本文的閱讀等級:初級 令 為一 階矩陣, 為特徵值 (包含相重特徵值), 為對應的特徵向量,即有 ,。本文介紹如何利用 Vandermonde 矩陣證明對應相異特徵值的特徵向量組成一線性獨立集。(此證法源於網友 Meiyue Shao 對“相異特徵值對應線性獨立的特徵向量之簡易證明”的回應。)

Posted in 特徵分析, 線性代數專欄 | Tagged , , , | Leave a comment

相異特徵值對應線性獨立的特徵向量之簡易證明

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階矩陣, 為特徵值, 為對應的特徵向量。本文證明這個重要的定理:對應相異特徵值的特徵向量組成一個線性獨立集。(其他證法見“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”,“每週問題 June 11, 2012”,“利用 Vandermonde 矩陣證明相異特徵值對應線性獨立的特徵向量”。) 例如, 有特徵值 ,對應特徵向量 ,以及特徵值 (代數重數為 ),對應特徵向量 和 (幾何重數為 )。根據上述性質, 和 都是線性獨立集。

Posted in 特徵分析, 線性代數專欄 | Tagged , , , | 5 Comments

每週問題 December 16, 2013

這是判定線性獨立集的基本觀念問題。 Let be vectors in a vector space and . Prove that are linearly dependent if and only if there exists an integer , , such that is a linear combination of .

Posted in pow 向量空間, 每週問題 | Tagged | Leave a comment

線性獨立向量集的判定與算法

本文的閱讀等級:初級 令 為一個向量空間。給定向量集合 ,,若僅存在唯一的數組 使得 , 我們稱 是線性獨立的或線性無關的 (linearly independent),否則稱之為線性相關的或線性相依的 (linearly dependent)。線性獨立集不具有線性相關性,而線性相關集中至少有一個向量可表示為其餘向量的線性組合 (見“線性獨立俱樂部”)。假設 且 為 的一組基底。任一向量 與其參考基底 的座標向量 有一對一的對應關係 (見“同構的向量空間”)。具體地說,若 ,則 。為裨益矩陣運算,我們可以將每一 用座標向量 表示。底下討論針對座標映射後的幾何向量空間 。如欲延伸至 ,將轉置 改成共軛轉置 即可。   對於 ,其中 ,本文探討底下三個問題: 如何判定 是否為一個線性獨立集? 如何從 挑選出最大的線性獨立子集?也就是說,該線性獨立子集包含最多的向量? 如何增添向量至 的最大線性獨立子集使之成為 的一組基底?

Posted in 線性代數專欄, 向量空間 | Tagged , , , , , , | Leave a comment

費雪不等式

本文的閱讀等級:中級 英國統計學家、演化生物學家與遺傳學家費雪 (Ronald Fisher) 是現代統計學的創建者之一。今天我們使用的許多統計方法,例如,變異數分析 (方差分析,簡稱ANOVA)、最大似然估計與費雪線性判別等,都是他的發明貢獻。本文要探討的主題是在實驗設計時碰到的一個組合數學問題。考慮包含 個元素的集合 。令 為 的 個相異非空子集合。令 代表一集合 的基數 (cardinal number),即所包含的元素個數。 費雪不等式:若所有的 滿足 ,則 。 費雪的原始論文以組合數學解釋[1],本文討論多種線性代數證法,使用的基本工具包括矩陣秩、行列式、特徵值、線性獨立與正定 (類似應用見“有限體與模算術”)。

Posted in 線性代數專欄, 應用之道 | Tagged , , , , , , | Leave a comment

答pentiumevo──關於非零行列式存在一非零餘子式的證明

網友pentiumevo留言: 周老師您好,我想問一個與行列式有關的問題:如果已知 階行列式 ,那麼是否可以確定行列式 必有一個不為零的 階子式 呢?我的想法是,如果行列式 的所有 階子式都是零,那麼由行列式的展開定義 (對第一列展開): 得到 (這裡 是行列式中元素 所對應的餘子式),然而這與前提的 相違,所以行列式 必至少有一個非零的 階子式。請問這樣證明對嗎?有沒有更直觀的想法呢?是否可以由 維向量的線性獨立性出發來論證這問題呢?謝謝老師。

Posted in 答讀者問, 行列式 | Tagged , , , , | Leave a comment