Tag Archives: 線性變換表示矩陣

每週問題 April 25, 2016

計算一個線性變換的跡數、行列式、特徵值與特徵向量。 Let be the vector space spanned by functions and . (a) Find the trace and determinant of the linear transformation from to . (b) Find the eigenvalues and corresponding eigenvectors of . Advertisements

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答Vahi Chen──關於矩陣的轉置的線性變換表示矩陣

網友Vahi Chen留言: 周老师,您好!向您请教一个问题。我们知道: 线性变换可以表示为矩阵的乘积; 矩阵的转置是一个线性函数; 不存在一个矩阵 ,使得对于任意一个矩阵 ,都有 。 但若给定一个矩阵 ,我们是否总能找到一个矩阵 ,使其满足 ?而显然答案是否定的。考虑 ,满足该等式的 并不存在。所以,我的疑问是既然矩阵转置是线性函数,而线性函数又可以表示为矩阵的乘积,但针对上述的特例,这样的矩阵却有可能不存在。“可以表示”和“有可能不存在”这两者是否互为矛盾,或者这二者之间存在怎样的一种联系?是否可以说:“线性变换并不总是能表示为矩阵的乘积,因为这样的矩阵可能并不存在”?

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每週問題 April 21, 2014

這是關於微分算子的矩陣表示以及特徵值問題。 Let be the differential operator on over defined as follows: If , then . (a) Find the matrix representation of under the basis . (b) Find the eigenvalues of .

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答Eric──關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣的逆矩陣

網友Eric留言: 您好,我剛初學到這個環節,看了此文後 (答npes_87184──關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣轉換問題),想請教兩個問題: 令 為向量空間, 和 為其上兩組基底,,則 不一定存在吧?是故縱 存在, 也不一定存在吧? 令 存在反函數 ,則矩陣表示法 及 的關係即是 ,我以為似乎不必大費周章討論那麼多?

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線性變換的轉置

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階矩陣且 和 是 維向量。通過矩陣乘法,矩陣 將 維向量 映射至 維向量 。矩陣 是一個從幾何向量空間 映至 的線性變換,因為矩陣乘法滿足 且 , 是純量。類似地, 階轉置矩陣 (transpose) 是一個從 映至 的線性變換 (見“轉置矩陣的意義”)。既然每一個矩陣都是線性變換,我們可以反過來問:對於線性變換 ,其中 和 是有限維向量空間,如何定義線性變換 的轉置變換?1970年代以前出版的線性代數教本經常從線性變換的轉置來定義矩陣的轉置[1]。這套論述固然嚴謹扎實,但必須建立在線性泛函 (linear functional) 和對偶空間 (dual space) 的基礎上,對於非數學專業的讀者多少總會增加負擔,故現今大概只有專為數學系課程撰寫的教科書才會納入這個論點[2]。在開始討論之前,我們先回顧相關的線性泛函和對偶空間的預備知識 (詳見 “線性泛函與對偶空間”)。

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每週問題 February 17, 2014

這是關於具有矩陣乘法型態的線性變換的特徵值和對角化問題,取自2012年台聯大碩士班入學試題(工程數學B)。 Let be the vector space consisting of all matrices with real-valued entries and let be a linear operator on such that (a) Determine the eigenvalues of . (b) Find an ordered basis for such that is a diagonal matrix.

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答matrix67──關於二相似矩陣的行空間與零空間的關係

網友matrix67留言: 老師您好,二相似矩陣有相同的列空間和零空間嗎?因為二相似矩陣是同一個線性變換 在不同基底下的表示矩陣,所以直觀上來想二相似矩陣的列空間應該都是 ,零空間都是 。但是事實似乎不是的,那麼如何理解這個問題呢?同時那一個矩陣的列空間與零空間和線性變換的 image 與 kernel 是相同的呢?

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線代膠囊──線性變換表示矩陣

本文的閱讀等級:初級 令 是從向量空間 映至向量空間 的一線性變換。如何將線性變換 表示成矩陣 ?   線代箴言:「基底無敵。」針對一向量空間 ,一組基底 是屬於 的向量集,滿足兩個性質:第一, 是一個線性獨立集;第二, 的所有線性組合填滿 ,或者說 生成 (span) 。

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答npes_87184──關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣轉換問題

網友npes_87184留言: 線性變換 的定義域與到達域都是向量空間 ,且 和 是 的兩組基底。如果我知道 ,有辦法求得 ?

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不使用行列式的特徵值和特徵向量算法 (中)

本文的閱讀等級:中級 給定一 階矩陣 ,若 維向量 使得 ,即 ,則 稱為特徵值, 是對應的特徵向量。因為 的零空間包含非零向量,可知 不可逆,所以 。根據此事實,我們定義 的特徵多項式為 ,特徵值 即是 的根。從課堂演習的角度來看,這個基於行列式的特徵值算法的最大缺點在於,當 增大時,自行列式表達 到標準式 往往需要耗費大量的計算 (這解釋了何以多數線性代數教科書僅見 或 階的數值例子)。因為這個緣故,我們將箭頭瞄準不使用行列式的特徵值和特徵向量算法。下面先檢視幾種無須計算即可獲取特徵多項式的特殊形態矩陣,然後設法推導從任意矩陣至特殊形態矩陣的相似變換。

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