Tag Archives: 線性變換

網友王昭晴留言： 老師您好，我最近在回顧過去所學的線性代數時開始有了一些問題。這些事過去不曾仔細思考過就當作一個名詞走馬看花的過去了。尤其是關於“線性”兩個字。為何要特別叫“線性”呢？我的意思是線性代數中一些定義會加註線性兩個字，例如線性向量空間 (linear vector space) 與方程式或者向量的線性組合 (linear combination)。為何要特別稱此二者為線性？難道有非線性的向量空間與非線性的組合嗎？而“線性”二字是否有除了線性方程式以外更深層的意思呢？還是說僅僅只是因為線性代數的發展是從線性方程式開始研究起，就稱作線性了呢？

本文的閱讀等級：初級 德國數學家希爾伯特 (David Hilbert) 說[1]：「一個數學理論不被認為是完整的，直到你可以說得很清楚──你能解釋給第一個在街上相遇的人聽。」長久以來，這個問題一直困擾著許多線性代數初學者：基本矩陣運算，包括矩陣加法、純量乘法以及矩陣乘法，是如何被定義出來的？基本矩陣運算的數學原因既不是商業機密亦非神祕主義，矩陣與其基本運算源自於線性代數的核心運轉機制──線性變換 (linear transformation) 或稱線性映射 (linear mapping)。定義於有限維向量空間 (vector space)，譬如，實座標向量空間 ，複座標向量空間 ，的線性變換可以用矩陣表示；矩陣加法、純量乘法與矩陣乘法分別對應線性變換的加法、純量乘法以及複合 (composition)。換句話說，線性變換涉及的所有計算工作都可以透過矩陣運算實現。有別於一般基礎線性代數教科書直接給出計算公式，本文從線性變換觀點定義基本矩陣運算，並利用此定義證明相關的運算法則。

網友Vahi Chen留言： 周老师，您好！向您请教一个问题。我们知道： 线性变换可以表示为矩阵的乘积； 矩阵的转置是一个线性函数； 不存在一个矩阵 ，使得对于任意一个矩阵 ，都有 。 但若给定一个矩阵 ，我们是否总能找到一个矩阵 ，使其满足 ？而显然答案是否定的。考虑 ，满足该等式的 并不存在。所以，我的疑问是既然矩阵转置是线性函数，而线性函数又可以表示为矩阵的乘积，但针对上述的特例，这样的矩阵却有可能不存在。“可以表示”和“有可能不存在”这两者是否互为矛盾，或者这二者之间存在怎样的一种联系？是否可以说：“线性变换并不总是能表示为矩阵的乘积，因为这样的矩阵可能并不存在”？

本文的閱讀等級：中級 令 為一個 階矩陣且 和 是 維向量。通過矩陣乘法，矩陣 將 維向量 映射至 維向量 。矩陣 是一個從幾何向量空間 映至 的線性變換，因為矩陣乘法滿足 且 ， 是純量。類似地， 階轉置矩陣 (transpose) 是一個從 映至 的線性變換 (見“轉置矩陣的意義”)。既然每一個矩陣都是線性變換，我們可以反過來問：對於線性變換 ，其中 和 是有限維向量空間，如何定義線性變換 的轉置變換？1970年代以前出版的線性代數教本經常從線性變換的轉置來定義矩陣的轉置[1]。這套論述固然嚴謹扎實，但必須建立在線性泛函 (linear functional) 和對偶空間 (dual space) 的基礎上，對於非數學專業的讀者多少總會增加負擔，故現今大概只有專為數學系課程撰寫的教科書才會納入這個論點[2]。在開始討論之前，我們先回顧相關的線性泛函和對偶空間的預備知識 (詳見 “線性泛函與對偶空間”)。