Tag Archives: 線性變換

線代膠囊──線性變換表示矩陣

本文的閱讀等級:初級 令 是從向量空間 映至向量空間 的一線性變換。如何將線性變換 表示成矩陣 ?   線代箴言:「基底無敵。」針對一向量空間 ,一組基底 是屬於 的向量集,滿足兩個性質:第一, 是一個線性獨立集;第二, 的所有線性組合填滿 ,或者說 生成 (span) 。 Advertisements

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每週問題 January 7, 2013

這是矩陣乘法定義的線性變換的行列式計算問題。 Let be an matrix and define for every matrix . Show that .

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每週問題 December 31, 2012

本週問題是計算轉置變換的行列式。 Let be an real matrix, and be the linear transformation defined by . What is the determinant of ?

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每週問題 August 6, 2012

這是運用線性變換概念的計算問題,取自2008年台大資訊所碩士班入學試題。 Pow-August-6-12 參考解答 PowSol-August-6-12

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線性變換集合構成向量空間

本文的閱讀等級:初級 線性變換的本質是數學函數,表示為 ,其中向量空間 是定義域,向量空間 是到達域。線性變換 將 映至 。線性變換本身也擁有向量的性質,因為從 映至 的所有線性變換構成的集合具有向量空間結構,本文從這個角度探究線性變換、矩陣和向量空間三者之間的錯綜關係。

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仿射變換

本文的閱讀等級:初級 設 為一 階實矩陣, 是 維實向量,定義於幾何向量空間 的仿射變換 (affine transformation) 具有下列形式: 也就是說,仿射變換由一線性變換加上一平移量構成。因為 ,除非平移量 為零,仿射變換不是線性變換。仿射變換有兩個相當特殊的性質:共線 (collinearity) 不變性和比例不變性,意思是 的任一直線經仿射變換的像 (image) 仍是一直線,而且直線上各點之間的距離比例維持不變。

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幾何變換矩陣的設計

本文的閱讀等級:初級 矩陣之所以成為研究線性變換的一個有效工具乃基於兩個事實:線性變換完全由基底的映射行為所決定,以及線性複合變換可表示為矩陣乘積 (見“線性代數的第一堂課──矩陣乘法的定義”)。本文運用這兩個性質來設計二維歐幾里得空間裡常用的一些幾何變換矩陣。

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座標變換與基底變換的對應關係

本文的閱讀等級:中級 基底 (或簡稱基) 是附著於向量空間的一組座標系統。設 是 維向量空間 的一組基底,我們知道任何向量 都可以寫成基底向量 的線性組合 而且權重 由向量 唯一決定。將有序純量 視為 向量 (複數空間則為 ),記作 ,意指 參考基底 的座標向量。因為向量 和座標向量 存在一對一的映射關係: 我們稱向量空間 和幾何向量空間 是同構的 (isomorphic,“同構的向量空間”)。座標映射的實際功用是把發生於向量空間 的問題搬移至另一個富含幾何意義的 空間來處理,待處理完畢後,再將結果轉換回原本的 空間。顯然,一向量若參考不同的座標系統 (即基底),便有不同的座標;反過來講,在不同的座標系統下,同一座標向量則對應不同的向量。本文稱前者為座標變換 (change of coordinates),後者為基底變換 (change of basis)。不過,這僅是為了方便討論才如此區分,許多文獻並不必然採用本文的定義。

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線性變換表示矩陣

本文的閱讀等級:初級 矩陣是線性代數處理分析的基本數學物件,但是幾乎沒有任何教科書曾經給出嚴格的公理化定義。儘管矩陣允許非常多不同面貌的解釋方案,我們對矩陣的認知大致可以區分為兩種觀點:矩陣是數字組合的矩形陣列,例如,一幅影像包含的像素,或一頁試算表所儲存資料;另一種位階較高的觀點是將矩陣視為介於兩向量空間的線性變換表達形式,而矩陣之所以對處理線性問題極其重要也正是因為這個緣故。本文將解釋何謂線性變換表示矩陣,並由線性變換基本性質推演出一套合理且自然的矩陣運算規則。

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轉置矩陣的意義

本文的閱讀等級:中級 如果門徒向蘇格拉底提問:「轉置矩陣是甚麼?」蘇格拉底一如既往地回答:「不知道。」門徒於是轉而查閱課本的說法: 給定一個 階矩陣 ,轉置矩陣是一個 階矩陣,記作 ,其中 。 轉置矩陣 不過就是將 的行列對調位置而已,還有必要繼續討論下去嗎?「轉置矩陣 與原矩陣 有何關係?」誠懇向學的門徒不肯罷休又窮追猛問:「轉置矩陣 有什麼代數和幾何意義?」越是基本的問題往往越難給出令多數人滿意的答案,所以先聲明:以下言論僅為個人觀點,不代表本人服務的工作單位的立場。

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