Tag Archives: 行列式

每週問題 November 21, 2016

Posted on 11/21/2016 by ccjou

證明兩個半正定矩陣之和的行列式大於或等於兩矩陣的行列式之和。 Let and be Hermitian and positive semidefinite matrices. Show that .

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不說廢話──克拉瑪公式的證明

Posted on 05/13/2016 by ccjou

本文的閱讀等級：初級 You know that I write slowly. This is chiefly because I am never satisfied until I have said as much as possible in a few words, and writing briefly takes far more time than writing at length. ― Carl Friedrich … Continue reading →

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每週問題 April 25, 2016

Posted on 04/25/2016 by ccjou

計算一個線性變換的跡數、行列式、特徵值與特徵向量。 Let be the vector space spanned by functions and . (a) Find the trace and determinant of the linear transformation from to . (b) Find the eigenvalues and corresponding eigenvectors of .

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如何學好線性代數？

Posted on 02/26/2016 by ccjou

線性代數是美國數學教授哈爾莫斯 (Paul R. Halmos) 的專長，他在26歲時出版了一本經典教材《有限維向量空間》(Finite-Dimensional Vector Spaces)。哈爾莫斯於回憶錄《我要做數學家》(I Want to Be a Mathematician) 談到他第一次學習線性代數的悲慘遭遇[1]： 代數課很難，我讀得很生氣。…當我說生氣，我是真的生氣。Brahana 不知道如何說清楚，我們的教材是 Bôcher 的書 (我認為寫得一團糟)，我花在這個科目的多數時間裡，我的情緒惱火到憤怒。…不知怎麼的，我的線性代數導論最後倖存下來。過了四、五年，在我取得博士學位，聽了諾伊曼 (von Neumann) 講的算子理論後，我才真正開始明白這個科目到底在講甚麼。 為甚麼線性代數這麼難？從哈爾莫斯說的這段話可以歸結兩個原因：第一是老師很爛，第二是課本很糟。如果學習一門科目的兩個重要 (必要？) 條件不是爛就是糟，我們還能冀望學好它嗎？不過話說回來，即使哈爾莫斯的線性代數啟蒙老師是數學大師諾伊曼，哈爾莫斯未必當下就能真正明白線性代數在講甚麼。我說的真正明白不是指考試拿高分，而是有一天你在洗澡時豁然開悟，奔出浴室光著身子在馬路上邊跑邊叫：「啊哈！我明白了！」 老實講，我不認為有哪個老師或哪本教科書可以讓學生「第一次學線代就上手」。真正全面性的理解線性代數需要時間，需要勤奮練習與堅持思考。

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內積與外積是怎麼來的？

Posted on 12/30/2015 by ccjou

本文的閱讀等級：初級 在歐幾里得空間 ，兩個向量的內積與外積是怎麼來的？從決定論 (determinism) 的觀點，內積與外積之所以如此定義，可以用先前的數學發展和事態來解釋。愛爾蘭數學家哈密頓 (William Rowan Hamilton) 於1843年提出四元數 (quaternion) 的概念。一個四元數是一個實數加上三個虛部 (見“四元數”)，記為 ，其中 是實數，虛數單位 滿足基本公式 。1878年，英國數學家克利福德 (William Kingdon Clifford)[1] 出版 Elements of Dynamic，書中首次用純量積 (scalar product) 與向量積 (vector product) 表示兩個四元數的積。今天，我們習慣稱純量積為點積 (dot product) 或內積 (inner product)，向量積則稱為外積或叉積 (cross product)。令 ，， 為 的標準單位向量。一個四元數可用純量─向量和表示為 ，其中 … Continue reading →

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每週問題 September 14, 2015

Posted on 09/14/2015 by ccjou

計算 的導數。 Let be an matrix, where each entry is a differentiable function of . Prove that , where is identical to except that the entries in the column are replaced by their derivatives, i.e., if , if .

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梯度、散度與旋度的恆等式

Posted on 08/25/2015 by ccjou

本文的閱讀等級：初級 令 是一開集， 是連續可微函數，且 是連續可微向量函數。純量函數 的梯度 (grad)，向量函數 的散度 (div) 和旋度 (curl) 定義如下 (見“梯度、散度與旋度”)： 。 本文整理出一些梯度、散度與旋度的恆等式，並提供證明。

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每週問題 May 25, 2015

Posted on 05/25/2015 by ccjou

這是關於分塊矩陣行列式的計算問題。 Let , where and are square matrices of order and , respectively. Let be an matrix and be an matrix. Prove the following identities. (a) . (b) .

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每週問題 April 27, 2015

Posted on 04/27/2015 by ccjou

這是利用行列式證明一特殊矩陣型態必定可逆的問題。 For any matrix , show that there exists a matrix such that is nonsingular.

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每週問題 January 19, 2015

Posted on 01/19/2015 by ccjou

如果 和 的所有元為整數，則 有甚麼性質？ Let be an matrix. If all entries of and are integers, show that .

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