Tag Archives: 行空間

每週問題 October 12, 2015

這是計算兩個矩陣的行空間和與零空間交集的問題。 (a) Let be an matrix and be an matrix. Show that , where denotes the column space of . (b) Let be an matrix and be a matrix. Show that , where denotes the nullspace of . Advertisements

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每週問題 September 29, 2014

這是證明矩陣乘積的行空間 (column space) 包容性質。 Denote by the column space or range of matrix . Let be an matrix and be an matrix. Prove that the following statements are equivalent. (a) . (b) for some matrix .

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運用輸入輸出模型活化秩─零度定理

本文的閱讀等級:中級 令 為一個從向量空間 映射至向量空間 的線性變換, 稱為定義域 (domain), 稱為到達域 (codomain)。我們說 的值域 (range 或 image) 為 且 的核 (kernel) 或零空間 (nullspace) 為 。 值域 是 的一個子空間,零空間 是 的一個子空間 (見“子空間的辨識”)。假設 。如果 是 的一組基底,將它擴充為 的一組基底,,我們聲稱 組成 的一組基底。因為 ,我們只需要證明 是一個線性獨立集。考慮 。 因此,。但 是線性獨立集,意味 ,因此 ,推得 … Continue reading

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矩陣的四個基本子空間的正交投影矩陣

本文的閱讀等級:中級 令 為幾何向量空間 的一個子空間,且 是 的正交補餘 (orthogonal complement),意思是 且 。換一個說法,任一 可唯一分解成 ,其中 ,,且 。令 表示映射至子空間 的 階正交投影矩陣。下列性質成立 (見“正交投影矩陣的性質與界定”): 對於每一 ,。 對於每一 ,。 是實對稱冪等矩陣,即 。 且 。 若 () 且 是 的一組基底,將所有的基底向量組成 階矩陣 ,正交投影矩陣 可由下列公式算得 (推導見“線代膠囊──正交投影矩陣”): 。 值得注意的是 不因所選擇的基底 (即 矩陣) … Continue reading

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值域對稱矩陣

本文的閱讀等級:中級 令 為一 階實矩陣。若 ,則 可正交對角化為 ,其中 是實正交矩陣 (orthogonal matrix),滿足 ,, 是 的特徵值 (見“實對稱矩陣可正交對角化的證明”)。以下令 , 表示 的行空間 (column space,即值域), 表示 的零空間 (nullspace)。本文介紹一種涵蓋對稱矩陣的特殊矩陣,稱為值域對稱矩陣 (range symmetric matrix),具有下列等價的界定性質: ,其中 是一 階可逆分塊, 是一正交矩陣。 直白地說,值域對稱矩陣 的行空間等於列空間 (即 ),零空間等於左零空間 (即 ),行空間正交於零空間,且 正交相似於 ,其中 是可逆分塊。當值域對稱矩陣 退化為一對稱矩陣時, 即為非零特徵值所組成的對角矩陣。若 … Continue reading

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線性方程 Ax=b 的通解與矩陣 A 的四個基本子空間整合算法

本文的閱讀等級:初級 令 為一 階實矩陣。矩陣 的行空間 (column space) 記為 ,零空間 (nullspace) 記為 。對於 階轉置矩陣 , 稱為 的列空間 (row space), 稱為 的左零空間 (left nullspace)[1]。以上是實矩陣 的四個基本子空間,其中列空間 和零空間 是 的子空間,行空間 和左零空間 是 的子空間。考慮下面兩個計算問題: 給定一 維向量 ,求線性方程 的通解 ,其中 為一特解,滿足 , 稱為齊次解,滿足 ,即 。 求矩陣 … Continue reading

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答matrix67──關於二相似矩陣的行空間與零空間的關係

網友matrix67留言: 老師您好,二相似矩陣有相同的列空間和零空間嗎?因為二相似矩陣是同一個線性變換 在不同基底下的表示矩陣,所以直觀上來想二相似矩陣的列空間應該都是 ,零空間都是 。但是事實似乎不是的,那麼如何理解這個問題呢?同時那一個矩陣的列空間與零空間和線性變換的 image 與 kernel 是相同的呢?

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線性代數在圖論的應用 (二):關聯矩陣

本文的閱讀等級:初級 線性代數在圖論的應用建立於圖的矩陣表達。我們曾在“線性代數在圖論的應用 (一):鄰接矩陣”討論了鄰接矩陣 (adjacency matrix),本文將介紹另一個重要的矩陣表達──關聯矩陣 (incidence matrix)。令 為一個有向圖,其中 是頂點集合, 是有向邊集合。我們以 和 分別表示頂點和邊的總數,即 ,。有序對 表示邊 的起始頂點是 ,終止頂點是 ,即 。我們定義關聯矩陣 為一 階矩陣,其中 且 若 ,其餘元為零[1]。見下例: 此圖的關聯矩陣為 。

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矩陣的四個基本子空間基底算法

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階實矩陣,或說 是一個線性變換 (見“線性變換與矩陣的用語比較”)。矩陣 的值域 (range) 為其行空間 (column space) , 將 以行向量 (column vector) 表示為 ,其中 , 就是行向量 的線性組合形成的一個集合,因為 。 矩陣 的核 (kernel) 為其零空間 (nullspace) 。 對於 階轉置矩陣 , 稱為 的列空間 (row space), 稱為 的左零空間 (left nullspace)。設 ,等號兩邊取轉置可得 … Continue reading

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線性變換與矩陣的用語比較

本文的閱讀等級:初級 在線性代數中,線性變換 (線性映射) 是矩陣的一種抽象描述,矩陣則是線性變換的具體實現。令 是一個從向量空間 映至向量空間 的變換,其中 稱為定義域 (domain), 稱為到達域 (codomain)。每一個向量 經由 映至 的一個向量 ,稱為 的像 (image)。對於任何 與純量 [1],如果 滿足 則 稱為一個線性變換。若 , 也稱為線性算子 (linear operator)。假設 和 是有限維向量空間, 且 。令 和 分別為向量空間 和 的基底。任一線性變換 可用矩陣乘法表示如下 (見“線性變換表示矩陣”): , 其中 是向量 參考 … Continue reading

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