Tag Archives: 行空間

每週問題 October 12, 2015

Posted on 10/12/2015 by ccjou

這是計算兩個矩陣的行空間和與零空間交集的問題。 (a) Let be an matrix and be an matrix. Show that , where denotes the column space of . (b) Let be an matrix and be a matrix. Show that , where denotes the nullspace of .

Posted in pow 向量空間, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

每週問題 September 29, 2014

Posted on 09/29/2014 by ccjou

這是證明矩陣乘積的行空間 (column space) 包容性質。 Denote by the column space or range of matrix . Let be an matrix and be an matrix. Prove that the following statements are equivalent. (a) . (b) for some matrix .

Posted in pow 向量空間, 每週問題 | Tagged | Leave a comment

運用輸入輸出模型活化秩─零度定理

Posted on 02/17/2014 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 令 為一個從向量空間 映射至向量空間 的線性變換， 稱為定義域 (domain)， 稱為到達域 (codomain)。我們說 的值域 (range 或 image) 為 且 的核 (kernel) 或零空間 (nullspace) 為 。 值域 是 的一個子空間，零空間 是 的一個子空間 (見“子空間的辨識”)。假設 。如果 是 的一組基底，將它擴充為 的一組基底，，我們聲稱 組成 的一組基底。因為 ，我們只需要證明 是一個線性獨立集。考慮 。 因此，。但 是線性獨立集，意味 ，因此 ，推得 … Continue reading →

Posted in 線性代數專欄, 向量空間 | Tagged , , , , , | Leave a comment

矩陣的四個基本子空間的正交投影矩陣

Posted on 02/11/2014 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 令 為幾何向量空間 的一個子空間，且 是 的正交補餘 (orthogonal complement)，意思是 且 。換一個說法，任一 可唯一分解成 ，其中 ，，且 。令 表示映射至子空間 的 階正交投影矩陣。下列性質成立 (見“正交投影矩陣的性質與界定”)： 對於每一 ，。 對於每一 ，。 是實對稱冪等矩陣，即 。 且 。 若 () 且 是 的一組基底，將所有的基底向量組成 階矩陣 ，正交投影矩陣 可由下列公式算得 (推導見“線代膠囊──正交投影矩陣”)： 。 值得注意的是 不因所選擇的基底 (即 矩陣) … Continue reading →

Posted in 線性代數專欄, 內積空間 | Tagged , , , , , , , , , | 5 Comments

值域對稱矩陣

Posted on 01/28/2014 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 令 為一 階實矩陣。若 ，則 可正交對角化為 ，其中 是實正交矩陣 (orthogonal matrix)，滿足 ，， 是 的特徵值 (見“實對稱矩陣可正交對角化的證明”)。以下令 ， 表示 的行空間 (column space，即值域)， 表示 的零空間 (nullspace)。本文介紹一種涵蓋對稱矩陣的特殊矩陣，稱為值域對稱矩陣 (range symmetric matrix)，具有下列等價的界定性質： ，其中 是一 階可逆分塊， 是一正交矩陣。 直白地說，值域對稱矩陣 的行空間等於列空間 (即 )，零空間等於左零空間 (即 )，行空間正交於零空間，且 正交相似於 ，其中 是可逆分塊。當值域對稱矩陣 退化為一對稱矩陣時， 即為非零特徵值所組成的對角矩陣。若 … Continue reading →

Posted in 線性代數專欄, 內積空間 | Tagged , , , , , | Leave a comment

線性方程 Ax=b 的通解與矩陣 A 的四個基本子空間整合算法

Posted on 12/30/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：初級 令 為一 階實矩陣。矩陣 的行空間 (column space) 記為 ，零空間 (nullspace) 記為 。對於 階轉置矩陣 ， 稱為 的列空間 (row space)， 稱為 的左零空間 (left nullspace)[1]。以上是實矩陣 的四個基本子空間，其中列空間 和零空間 是 的子空間，行空間 和左零空間 是 的子空間。考慮下面兩個計算問題： 給定一 維向量 ，求線性方程 的通解 ，其中 為一特解，滿足 ， 稱為齊次解，滿足 ，即 。 求矩陣 … Continue reading →

Posted in 線性代數專欄, 向量空間 | Tagged , , , , , , , , , | 2 Comments

答matrix67──關於二相似矩陣的行空間與零空間的關係

Posted on 12/20/2013 by ccjou

網友matrix67留言： 老師您好，二相似矩陣有相同的列空間和零空間嗎？因為二相似矩陣是同一個線性變換 在不同基底下的表示矩陣，所以直觀上來想二相似矩陣的列空間應該都是 ，零空間都是 。但是事實似乎不是的，那麼如何理解這個問題呢？同時那一個矩陣的列空間與零空間和線性變換的 image 與 kernel 是相同的呢？

Posted in 答讀者問, 向量空間 | Tagged , , , , , | Leave a comment

線性代數在圖論的應用 (二)：關聯矩陣

Posted on 08/30/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：初級 線性代數在圖論的應用建立於圖的矩陣表達。我們曾在“線性代數在圖論的應用 (一)：鄰接矩陣”討論了鄰接矩陣 (adjacency matrix)，本文將介紹另一個重要的矩陣表達──關聯矩陣 (incidence matrix)。令 為一個有向圖，其中 是頂點集合， 是有向邊集合。我們以 和 分別表示頂點和邊的總數，即 ，。有序對 表示邊 的起始頂點是 ，終止頂點是 ，即 。我們定義關聯矩陣 為一 階矩陣，其中 且 若 ，其餘元為零[1]。見下例： 此圖的關聯矩陣為 。

Posted in 線性代數專欄, 圖論, 應用之道 | Tagged , , , , , , , , , | Leave a comment

矩陣的四個基本子空間基底算法

Posted on 11/19/2012 by ccjou

本文的閱讀等級：初級 令 為一個 階實矩陣，或說 是一個線性變換 (見“線性變換與矩陣的用語比較”)。矩陣 的值域 (range) 即為其行空間 (column space) 。 將矩陣 以行向量 (column vector) 表示為 ，其中 ， 就是行向量 的線性組合形成的集合，因為 。 矩陣 的核 (kernel) 等於其零空間 (nullspace) 。 對於 階轉置矩陣 ， 稱為 的列空間 (row space)， 稱為 的左零空間 (left nullspace)。為什麼有這個奇怪的名稱？考慮 ，等號兩邊取轉置可得 … Continue reading →

Posted in 線性代數專欄, 向量空間 | Tagged , , , , , , , | 8 Comments

線性變換與矩陣的用語比較

Posted on 11/12/2012 by ccjou

本文的閱讀等級：初級 在線性代數中，線性變換 (或稱線性映射) 是矩陣的一種抽象描述，矩陣則為線性變換的具體實現。令 是一個從向量空間 映至向量空間 的變換，其中 稱為定義域 (domain)， 稱為到達域 (codomain)。每一個向量 經由 映至到達域 的一個向量 ，稱為 的像 (image)。對於任何 與純量 [1]，如果 滿足兩個條件 則 稱為一個線性變換。若 ， 也稱為線性算子 (linear operator)。假設 和 是有限維向量空間， 且 。令 和 分別為向量空間 和 的基底。任一線性變換 可用矩陣乘法表示如下 (見“線性變換表示矩陣”)： ， 其中 是向量 參考 … Continue reading →

Posted in 線性變換, 線性代數專欄 | Tagged , , , , , , , , | 6 Comments