Tag Archives: 行空間

利用 Gramian 矩陣證明行秩等於列秩

本文的閱讀等級:中級 線性代數的基本定理建立在一個重要磐石之上,即矩陣的行秩 (column rank) 等於列秩 (row rank),意思是矩陣的行空間維數等於列空間維數。據此,一 階矩陣 的行秩和列秩通稱為秩,記作 。過去我們曾經在“行秩=列秩”利用矩陣乘法運算證明矩陣 的列空間維數不大於行空間維數,;將不等式的 替換為 ,因為 ,可知 ,因此得證。另外,透過秩分解 (rank decomposition) ,其中 階矩陣 的行向量是 的行空間基底, 階矩陣 的列向量是 的列空間基底,我們也得以目視矩陣的行秩等於列秩 (見“秩分解──目視行秩等於列秩”)。本文再介紹一個優雅的證明,整個論證核心在於 , 其中 是 的共軛轉置, 為 階 Hermitian 矩陣,稱為 Gramian 矩陣 (見“特殊矩陣 (14):Gramian 矩陣”)。

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每週問題 October 8, 2012

若 是實矩陣,證明:若 ,則 。 Let and be an and real matrices, respectively. If , prove that .

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每週問題 September 17, 2012

若 為一 階矩陣,則 和 的行空間與零空間有何關係? Pow-Sept-17-12 參考解答 PowSol-Sept-17-12

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答zonelin──關於特徵方程與矩陣基本子空間的關係

網友zonelin留言: 周老師您好:在Linear Algebra Problem Set 9 2009裡面的第五題(b),請問 particular solution 是如何算出來的?eigenvalue 和解的關係為何?若 有解,則 落在 的行空間中, 則是 particular solution 和 homogeneous solution 相加,那 particular solution 落在 轉置後的行空間中,那我想請問,若 , 是落在 轉置後的行空間中還是 的行空間中?在矩陣四個空間的圖像上要如何解釋。謝謝~   答曰: 這個練習題選自 Gilbert Strang 所著 Introduction to Linear Algebra (2003) … Continue reading

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每週問題 April 2, 2012

這是有關秩─零度定理另一表述的證明問題。 Pow-April-2-12 參考解答 PowSol-April-2-12

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每週問題 July 25, 2011

本週問題是有關半正定矩陣乘積的子空間分析。 Pow-July-25-11 參考解答 PowSol-July-25-11

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行空間與零空間的互換表達

本文的閱讀等級:初級 對於一 階實矩陣 ,行空間 (column space) 乃 的行向量於 中擴張而成的子空間: 零空間 (nullspace) 則是齊次方程 所有解形成的一個屬於 的子空間: 在一般情況下,矩陣行空間採用明確的 (explicit) 建構式 (即擴張) 定義,而零空間則以隱含的 (implicit) 限制條件 (即線性方程組) 來定義。本文探討如何運用簡約列梯形式 (reduced row echelon form) 解決下面兩個子空間互換表達問題:給定 ,將零空間 表示成明確的向量集擴張,也就是說,求矩陣 使得 ;另一方面,行空間 也可以表示為隱含的限制條件,亦即求矩陣 使得 。

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左乘還是右乘,這就是問題所在

本文的閱讀等級:初級 蘇東坡遊廬山在西林寺壁題了一首膾炙人口富饒哲理的詩: 橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同,不識廬山真面目,只緣身在此山中。 如果擴大對這首詩的詮釋,它也揭示了一種有效的線性代數學習法──從不同角度觀照,才能看見更多層次的意義。我曾經在“由簡約列梯形式判斷行空間基底”介紹一個矩陣的行空間 (column space) 算法[1],此法所依循的原理是「基本列運算不改變線性獨立的行向量集合」,也稱為保秩 (rank preserving),因此從簡約列梯形式 (reduced row echelon form) 即可判斷原矩陣的行空間基底。見下例, 。 對 執行基本列運算可得簡約列梯形式 。 矩陣 的第 與 行是線性獨立的 (為什麼?),推知 為 的行空間 的一組基底,但請你注意 的行空間並不等於 的行空間,目視便可確認 : 。 這個事實令人感到困惑:基本列運算的作用是 的列向量的線性組合,因此不改變 的列空間 (row space),但是 的線性獨立的行向量關係何以維持不變?我們的思維受「列運算」所牽絆,故難以撥雲見日看透真相。問題導引答案,如果換一個方式提問,那麼這個事實其實再明顯不過。

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每週問題 August 9, 2010

本週問題是證明分塊對角矩陣的一些向量空間性質。 Pow-August-9-10 參考解答 PowSol-August-9-10

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每週問題 June 21, 2010

本週問題證明若 為實正規矩陣,即 ,則 和 有相同的零空間和行空間。 Pow-June-21-10 參考解答↓ PowSol-June-21-10

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