Tag Archives: 補子空間

商空間 (上)

本文的閱讀等級:中級 令 是向量空間 的一個子空間。若 的任一子空間 滿足 ,即 且 ,其中 ,我們說 是 與 的直和 (direct sum),且 稱為 的補子空間 (或補空間)。在此情況下,每一 皆可唯一分解為 ,其中 , (見“補子空間與直和”)。若 是一個有限維內積空間,則 有唯一的正交補餘 (orthogonal complement),記為 ,上述唯一分解式另外滿足 ,即 。如果 不是內積空間,則不存在自然且唯一的補子空間。本文介紹一個由 與 建構而成的自然且唯一的向量空間,稱為商空間 (quotient space),記作 。不過, 不是 的一個子空間,因此並非 的補子空間。商空間 的主要性質是它與 的每一個補子空間 … Continue reading

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值域—零空間分解

本文的閱讀等級:中級 設 和 為有限維向量空間 的兩個子空間,且 。子空間 和 的直和 (direct sum) 也是一個子空間 (見“補子空間與直和”), 。 如果 ,我們說 和 在向量空間 中互為補子空間 (complementary subspace),並稱 為 的直和分解。有別於一般矩陣分解如 LU 分解、QR 分解,直和分解的作用在於切割向量空間,例如, 的 XY 平面 和 Z 軸 是一個直和分解。明顯地, 或 存在無窮多直和分解。如果給定一 階矩陣 ,如何由 的四個基本子空間衍生具實用價值的直和分解?本文將探討這個問題[1]。以下將向量空間限定於 ,但本文所述內容皆可延伸至 ,惟 必須改為 … Continue reading

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正交投影──威力強大的線代工具

本文的閱讀等級:中級 具有內積功能的向量空間簡稱為內積空間,線性代數中許多重要理論和應用都從內積空間衍生出來,例如基底正交化,QR 分解,最小平方法,矩陣譜定理,甚至奇異值分解 (singular value decomposition) 也和內積空間密切相關。在內積空間中,最重要的運算除了內積本身,另一個威力強大的代數工具就是將任意向量分解為正交分量之和的正交投影 (orthogonal projection)。本文介紹兩個推導正交投影矩陣方法,第一個是歸納法,從一道簡單的幾何問題開始──將向量投影至一直線,繼續推廣可導出至一般子空間的正交投影。這個方法較具幾何直觀,適宜初學者學習。另一個方法是將正交性質加入向量空間的斜投影,再利用矩陣代數推導正交投影矩陣。本文內容限定實幾何向量空間 ,如欲延伸至 ,僅需將轉置 改為共軛轉置 。

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直和與投影

本文的閱讀等級:中級 設向量空間 為子空間 與其補空間 的直和,記為 。對於任意向量 ,直和的意義是僅存在唯一方式分解 為 -成分與 -成分之和。“補子空間與直和”曾舉一例,,其中 為一平面, 為平面外的一直線。對於三維空間中的任意向量 ,我們可以想像 就是將向量 沿著與 平行的直線投影至平面 ,見下圖。注意,直線 上的向量至平面 的投影量為零。

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補子空間與直和

本文的閱讀等級:中級 向量空間 中有二個特別的子空間:一是僅包含零向量 的子空間,記為 ,另一個是 自身。通常,我們感興趣的子空間既非 亦非 ,而是介於兩者之間的那些子空間。往下討論之前,先準備必要的記號與定義。設 和 為定義於向量空間 中的二個子空間,表示為 ,。如果向量 屬於子空間 ,則 也屬於 ,這指出任意子空間都包含 ,因此 。令 代表 和 的交集。若 ,我們稱 與 不交集 (disjoint)。

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