Tag Archives: 複數

四元數

本文的閱讀等級:初級 四元數 (quaternion) 是愛爾蘭數學家哈密頓 (William Rowan Hamilton) 於1843年提出的數學概念。任一複數 可表示為實數與虛數之和,,其中 是實數, 是虛數單位。哈密頓明白複數可視為平面上的一個點,他一心想將這個概念延伸至三維空間。在三維空間中,每一個點可由其座標表示,即 3 個有序數 。哈密頓知曉這些點的加法與減法運算,但一直想不透該如何計算乘法與除法。1843年10月16日,哈密頓與夫人在前往都柏林愛爾蘭皇家學會主持會議的途中,沿著皇家運河 (Royal Canal) 旁的小徑散步經過 Brougham (又名 Broom) 橋,突然靈光乍現腦中冒出四元數的基本公式[1]。今天在 Brougham 橋西北方下側安置了一塊石頭牌匾記載這段往事 (刻文見[2])。哈密頓定義的四元數是一個實數加上三個虛部,如下: , 其中 是實數,虛數單位 滿足下列基本公式: 。 Advertisements

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實矩陣的分塊三角化與分塊對角化

本文的閱讀等級:中級 實係數多項式未必存在實根,例如,。專業的數學語彙是實數體 並非一個代數閉體 (algebraically closed field)。這個事實表現在實矩陣可能不存在實特徵值,如下例, , 其中 和 是實數且 。不難驗證 有共軛特徵值 ,其中 。在矩陣理論中,Schur 定理表明任一 階矩陣 必可通過相似變換三角化為 ,其中 是一上三角矩陣, 是一么正 (unitary) 矩陣,滿足 (見“矩陣三角化的 Schur 定理”)。考慮 是實矩陣的情況。若 的特徵值都是實數,則 為實矩陣且 為實正交 (orthogonal) 矩陣,。以下實正交矩陣簡稱為正交矩陣。若 有複 (共軛) 特徵值,則 和 都是複矩陣。在此情況下,如果我們要求 是正交矩陣,則 不再是複上三角矩陣,本文將證明 可以簡化至一個實分塊上三角矩陣。更進一步,若 是可對角化矩陣,則存在一可逆矩陣 … Continue reading

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複數的矩陣表示

本文的閱讀等級:初級 十八世紀末,複數已漸漸被時人所接受,1799年挪威─丹麥數學家韋塞爾 (Caspar Wessel) 提出複數可看作平面上的一點。數年後,高斯 (Carl Friedrich Gauss) 再提出此觀點並大力推廣,從此複數的研究開始快速發展[1]。複數數系是一個體 (域,field),我們用 表示複數體。簡單地說,一個體就是具有加法和乘法的數系 (見“有限體與模算術”),譬如,實數系 是一個最常見的體。高斯主張複數系 是二維平面 (稱為複數平面),並賦予一乘法運算。令實部單位 在複數平面的座標為 ,虛部單位 在複數平面的座標為 。任一複數 可唯一表示為 ,其中 和 是實數,也就是說,複數 可以視為實數 和 組成的有序對: 。 這裡我們要澄清一個觀念:向量空間 的維數 (dimension) 究竟是 還是 ?向量空間 的維數定義為 的基底的基數 (cardinal number),即基底向量的總數。複數系 既是一個複向量空間也是實向量空間[2], 的維數取決於構成向量空間的體,也就是說,,但 。不過,複向量空間 … Continue reading

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解讀複特徵值

本文的閱讀等級:初級 令 為一 階實矩陣。若 的特徵值為複數,矩陣 所代表的線性變換有何作為?如果 是常微分方程的係數矩陣,微分方程 的解又有甚麼特性?複特徵值常出現在一些科學和工程應用中,通過探討此問題可以聯繫線性代數和微分方程之間的關係。

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矩陣與複數的類比

本文的閱讀等級:高級 定義於向量空間 的任一線性變換可以用一個 階複矩陣表示 (參考某基底)。除了少數特殊矩陣,如對角矩陣、投影矩陣、旋轉矩陣,和鏡射矩陣等,學者經常無法清楚地掌握矩陣變換的確實行為,主要原因是人們很難想像高維 () 向量空間,遑論向量在這些空間中的變換。欲洞察任意方陣的映射行為雖非易事,但也不是全然無跡可循,本文介紹一個認識矩陣作為的方法──透過矩陣與複數的類比來區分界定重要的特殊方陣。對複矩陣陌生的讀者,請先閱讀背景文章 “從實數系到複數系”。

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內積的定義

本文的閱讀等級:初級 在幾何向量空間 ,向量 和 的點積 (dot product),或稱內積 (inner product),定義為 。 若將向量 與 寫成 階矩陣,即行向量 (column vector),則其內積可用矩陣乘積表示如下: 。 上式提示我們轉置矩陣的一個重要用途在於計算內積,稍後將詳細說明。多數讀者在中學時就被告知內積的定義,並學會如何用向量內積解決座標幾何問題以及計算物理學的合力與功。事實上,內積運算並不限定於具有幾何座標系統的向量空間,廣義向量空間也有合理的內積運算。溫故而知新,我們先嘗試從幾何向量找出內積定義的根基,進而將內積運算抽象推廣至廣義向量空間。

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從實數系到複數系

本文的閱讀等級:中級 當我們發現實矩陣的特徵值可能為複數時,理應將向量與矩陣的數系由實數延伸至複數。話是這麼說,權衡初學課程的內容分配,很多基礎線性代數課本反而將複數系的課題限定至最少範圍。幸好,省略複數系部分並不會對理解線性代數的核心概念與應用技術造成破壞性的影響。本文將矩陣代數從實數系延伸至複數系,藉此補齊那些遺漏的片段。

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