Tag Archives: 譜分解

網友 Meiyue Shao： I would like to share with you an alternative proof of the statement on the post 可對角化矩陣的譜分解──續篇(上) The proof is quite similar to yours. But likely mine is relatively simple to follow. As you might want to … Continue reading →

本文的閱讀等級：中級 我們曾經在“可對角化矩陣的譜分解──續篇(上)”證明譜定理 (spectrum theorem) 的反向命題：若 階矩陣 可表示為 ， 其中 為相異數， 是非零矩陣並滿足 ，，以及 ，則 可對角化 (若未註明階數，以下 表示 階單位矩陣 )。本文介紹一個採用建構式的證明，我們的思路是從給定條件先推論 是冪等 (idempotent) 矩陣，從而導出 的對角化形式 ，其中 ，每一 ，表明 是 的特徵值， 是特徵向量矩陣。這個證明所使用的線性代數定理與分析方法包括分塊矩陣的保秩變換、秩─零度定理、可對角化矩陣的成立條件、秩分解 (rank decomposition)，以及透過相似變換用跡數來計算秩。為便於閱讀，我將證明分成幾個步驟。(本文的證明由網友Meiyue Shao提供，原始文本請見“Spectral_decomposition”。)

本文的閱讀等級：中級 令 為一個 階可對角化矩陣， 為相異特徵值，也稱作矩陣譜 (spectrum)。若 是可對角化矩陣，譜定理 (spectrum theorem) 宣稱下列譜分解式唯一存在： ， 其中 稱為對應特徵值 的譜投影算子 (矩陣)，表達式為 (見“可對角化矩陣的譜分解”) ， 並具有以下性質： 是沿著 的行空間 (column space) 至零空間 (nullspace) 的投影矩陣，即冪等矩陣 (idempotent matrix)，滿足 (見“特殊矩陣 (5)：冪等矩陣”)； 若 ，； 。 本文證明譜定理的反向命題：若 ，其中 為相異數， 為非零矩陣並滿足 ，，及 ，則 是可對角化矩陣。為方便閱讀，我將證明過程切割成數個與譜投影矩陣 相關的性質。

本文的閱讀等級：中級 令 為一個 階矩陣。若 ，，滿足 ，我們稱 是 的一個特徵向量， 是對應的特徵值。淺白地說，特徵向量 經過矩陣 (線性變換) 映射得到的像 (image) 不改變方向，惟長度伸縮了 倍。尼采在《查拉圖斯特拉如是說》裡說： 知識的擁護者必須不僅愛他的敵人，同樣地也必須能夠恨他的朋友。假如你總是自認是一位學生，那麼你從一位老師所獲得的將是非常貧乏的。 尼采的意思是，學生應當審問慎思，才能分辨老師和課本說的話究竟是教條戒律還是客觀真理。在線性代數中，我們總是默認向量是行向量 (column vector)，故習以為常地在矩陣的右邊乘一行向量。倘若我們在矩陣的左邊乘一列向量 (row vector)，是否也可以平行發展出一套特徵向量與特徵值理論？雖然教科書鮮少提及，但矩陣左乘一列向量並不是一個毫無意義的幼稚想法，下面我們就來探討這個問題。