Tag Archives: 譜分解

實對稱矩陣可正交對角化的證明

本文的閱讀等級:中級 實對稱矩陣是應用最廣的一種特殊矩陣,主要原因在於實對稱矩陣可表達二次型且出現於許多應用領域 (見“二次型與正定矩陣”,“Hermitian 矩陣與實對稱矩陣的一些實例”)。實對稱矩陣具備美好的性質:特徵值皆為實數,並有完整的單範正交 (orthonormal) 特徵向量,也就是說,實對稱矩陣可正交對角化 (orthogonally diagonalizable)。令 為一個 階實對稱矩陣且 為 的特徵值。所謂正交對角化是指存在一個實正交矩陣 (orthogonal matrix) ,,使得 ,其中 的行向量 (column vector) 是 的特徵向量。實對稱矩陣屬正規 (normal) 矩陣家族的一員,滿足 ,這裡 代表共軛對稱。正規矩陣的標記性質是可么正對角化 (unitarily diagonalizable),即 ,其中 是么正 (unitary) 矩陣,滿足 ,因此立刻得知實對稱矩陣可正交對角化 (見“特殊矩陣 (2):正規矩陣”)。本文介紹另一個不常見於教科書的證明方法,此法結合了一些重要的線性代數分析技巧,包括不變子空間 (invariant subspace)、正交補餘 (orthogonal complement),以及分塊矩陣運算,值得讀者詳加探究。本文內容可以直接推廣至 Hermitian 矩陣,你只要將 … Continue reading

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可對角化矩陣的譜分解

本文的閱讀等級:中級 在矩陣分析中,對角化 (diagonalization) 是一個非常重要的概念與工具。如果 階矩陣 相似於一個對角矩陣,我們稱 是可對角化矩陣 (diagonalizable matrix),具體地說,存在一個同階可逆矩陣 使得 為對角矩陣,意味矩陣 可分解為 。矩陣的對角化與特徵分析有密切的關係,對角矩陣 的主對角元 為 的特徵值,而對角化的變換矩陣 的行向量 (column vector) 為對應特徵值 的特徵向量,。可對角化矩陣的直觀解釋是如果以特徵向量 當作基底,則參考這組基底的線性變換表示矩陣,即特徵值矩陣 ,具有最簡約的主對角形式。本文介紹可對角化矩陣的另一個分解表達式,稱為譜分解 (spectral decomposition) 或譜定理,它的特點是能夠表現更豐富的幾何意義,同時也具備簡化可對角化矩陣函數計算的功用 (見“矩陣函數 (上)”)。

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