Tag Archives: 譜半徑

本文的閱讀等級：高級 若 ，我們知道 且 。讀者自然會問：矩陣是否也擁有類似的性質？矩陣範數 (matrix norm) 是一種矩陣「大小」的度量，我們不妨由此著手。令 為一 階矩陣，我們曾經證明：若 ，其中 可為任何標準矩陣範數 (稍後詳述)，則 Neumann 無窮級數 收斂 (見“Neumann 無窮級數”)。然而 並非 收斂的必要條件，例如， 的特徵值皆為零且 ，但是 。除了矩陣範數，矩陣的特徵值也具有度量矩陣「大小」的功能。考慮特徵方程 ，則 ，故 決定了向量 的長度伸縮。令 為 的所有相異特徵值所成的集合，稱為矩陣譜 (spectrum)，並令 為 的最大絕對特徵值，稱為譜半徑 (spectral radius)，即 。 在複數平面上， 的所有特徵值都位於圓心在原點，半徑等於 的圓內。類似矩陣範數，譜半徑同樣可控制冪矩陣 的成長。本文討論兩個問題：(1) 如何利用譜半徑 … Continue reading →

本文的閱讀等級：中級 設 為一 階矩陣，若 ，則 可逆且 ， 上式稱為 Neumann 無窮級數。通過證明此命題可以深入瞭解矩陣範數 (norm) 於分析冪矩陣級數收斂性的作用，運用類似手法也可解釋何以矩陣指數 必定收斂。