Tag Archives: 譜投影算子

可對角化矩陣的譜分解──續篇(上)

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階可對角化矩陣, 為相異特徵值,也稱作矩陣譜 (spectrum)。若 是可對角化矩陣,譜定理 (spectrum theorem) 宣稱下列譜分解式唯一存在: , 其中 稱為對應特徵值 的譜投影算子 (矩陣),表達式為 (見“可對角化矩陣的譜分解”) , 並具有以下性質: 是沿著 的行空間 (column space) 至零空間 (nullspace) 的投影矩陣,即冪等矩陣 (idempotent matrix),滿足 (見“特殊矩陣 (5):冪等矩陣”); 若 ,; 。 本文證明譜定理的反向命題:若 ,其中 為相異數, 為非零矩陣並滿足 ,,及 ,則 是可對角化矩陣。為方便閱讀,我將證明過程切割成數個與譜投影矩陣 相關的性質。 … Continue reading

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右特徵向量與左特徵向量

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階矩陣。若 ,,滿足 ,我們稱 是 的一個特徵向量, 是對應的特徵值。淺白地說,特徵向量 經過矩陣 (線性變換) 映射得到的像 (image) 不改變方向,惟長度伸縮了 倍。尼采在《查拉圖斯特拉如是說》裡說: 知識的擁護者必須不僅愛他的敵人,同樣地也必須能夠恨他的朋友。假如你總是自認是一位學生,那麼你從一位老師所獲得的將是非常貧乏的。 尼采的意思是,學生應當審問慎思,才能分辨老師和課本說的話究竟是教條戒律還是客觀真理。在線性代數中,我們總是默認向量是行向量 (column vector),故習以為常地在矩陣的右邊乘一行向量。倘若我們在矩陣的左邊乘一列向量 (row vector),是否也可以平行發展出一套特徵向量與特徵值理論?雖然教科書鮮少提及,但矩陣左乘一列向量並不是一個毫無意義的幼稚想法,下面我們就來探討這個問題。

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定常迭代法──線性方程的數值解法

本文的閱讀等級:中級 高斯消去法是當今最常被使用的線性方程解法 (見“高斯消去法”),它是一種直接法,即一次性地解決問題。對於一個 階方陣,高斯消去法耗用的運算量是 。如果我們面對的是一個大型的稀疏矩陣,這時可用迭代法來求解。所謂迭代法是指從一個初始估計值出發,尋找一系列近似解以期解決問題的方法。大致上,應用於解線性方程的迭代法可區分為兩類:定常迭代法 (stationary iterative method) 和 Krylov 法。定常迭代法相對古老,容易瞭解與實現,惟效果通常不佳。Krylov 法相對年輕,雖然較不易理解分析,但效果普遍優異。本文介紹定常迭代法,並討論其中三種主要方法。

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可對角化矩陣的譜分解

本文的閱讀等級:中級 在矩陣分析中,對角化 (diagonalization) 是一個非常重要的概念與工具。如果 階矩陣 相似於一個對角矩陣,我們稱 是可對角化矩陣 (diagonalizable matrix),具體地說,存在一個同階可逆矩陣 使得 為對角矩陣,意味矩陣 可分解為 。矩陣的對角化與特徵分析有密切的關係,對角矩陣 的主對角元 為 的特徵值,而對角化的變換矩陣 的行向量 (column vector) 為對應特徵值 的特徵向量,。可對角化矩陣的直觀解釋是如果以特徵向量 當作基底,則參考這組基底的線性變換表示矩陣,即特徵值矩陣 ,具有最簡約的主對角形式。本文介紹可對角化矩陣的另一個分解表達式,稱為譜分解 (spectral decomposition) 或譜定理,它的特點是能夠表現更豐富的幾何意義,同時也具備簡化可對角化矩陣函數計算的功用 (見“矩陣函數 (上)”)。

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