Tag Archives: 譜投影算子

本文的閱讀等級：中級 令 為一個 階可對角化矩陣， 為相異特徵值，也稱作矩陣譜 (spectrum)。若 是可對角化矩陣，譜定理 (spectrum theorem) 宣稱下列譜分解式唯一存在： ， 其中 稱為對應特徵值 的譜投影算子 (矩陣)，表達式為 (見“可對角化矩陣的譜分解”) ， 並具有以下性質： 是沿著 的行空間 (column space) 至零空間 (nullspace) 的投影矩陣，即冪等矩陣 (idempotent matrix)，滿足 (見“特殊矩陣 (5)：冪等矩陣”)； 若 ，； 。 本文證明譜定理的反向命題：若 ，其中 為相異數， 為非零矩陣並滿足 ，，及 ，則 是可對角化矩陣。為方便閱讀，我將證明過程切割成數個與譜投影矩陣 相關的性質。

本文的閱讀等級：中級 令 為一個 階矩陣。若 ，，滿足 ，我們稱 是 的一個特徵向量， 是對應的特徵值。淺白地說，特徵向量 經過矩陣 (線性變換) 映射得到的像 (image) 不改變方向，惟長度伸縮了 倍。尼采在《查拉圖斯特拉如是說》裡說： 知識的擁護者必須不僅愛他的敵人，同樣地也必須能夠恨他的朋友。假如你總是自認是一位學生，那麼你從一位老師所獲得的將是非常貧乏的。 尼采的意思是，學生應當審問慎思，才能分辨老師和課本說的話究竟是教條戒律還是客觀真理。在線性代數中，我們總是默認向量是行向量 (column vector)，故習以為常地在矩陣的右邊乘一行向量。倘若我們在矩陣的左邊乘一列向量 (row vector)，是否也可以平行發展出一套特徵向量與特徵值理論？雖然教科書鮮少提及，但矩陣左乘一列向量並不是一個毫無意義的幼稚想法，下面我們就來探討這個問題。

本文的閱讀等級：中級 在矩陣分析中，對角化 (diagonalization) 是一個非常重要的概念與工具。如果 階矩陣 相似於一個對角矩陣，我們稱 是可對角化矩陣 (diagonalizable matrix)，具體地說，存在一個同階可逆矩陣 使得 為對角矩陣，意味矩陣 可分解為 。矩陣的對角化與特徵分析有密切的關係，對角矩陣 的主對角元 為 的特徵值，而對角化的變換矩陣 的行向量 (column vector) 為對應特徵值 的特徵向量，。可對角化矩陣的直觀解釋是如果以特徵向量 當作基底，則參考這組基底的線性變換表示矩陣，即特徵值矩陣 ，具有最簡約的主對角形式。本文介紹可對角化矩陣的另一個分解表達式，稱為譜分解 (spectral decomposition) 或譜定理，它的特點是能夠表現更豐富的幾何意義，同時也具備簡化可對角化矩陣函數計算的功用 (見“矩陣函數 (上)”)。