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第二類 Stirling 數與貝爾數

本文的閱讀等級:中級 考慮這個組合數學問題:包含 個元素的集合 劃分為 個等價類的方法數是多少?也就是說,總共有多少種方式將集合 劃分為 個兩兩不交集的非空子集?以符號 或 代表此數,稱之為第二類 Stirling 數 (因蘇格蘭數學家 James Stirling 而得名[1])。明顯地, 。看一個 的例子, 劃分為 類的所有可能方式如下: 因此, 。考慮集合 加入數字 ,區分為兩個情況:數字 單獨構成一類,只有 一種劃分法;數字 加入上面的 種劃分的其中一個等價類,共有 種可能。所以, 。重複此程序可以歸納出 。不過,這個演繹過程不容易推廣至 。下面我們運用母函數 (生成函數,generating function) 方法推導第二類 Stirling 數的顯式表達式。 Advertisements

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