Tag Archives: 賦範向量空間

賦範向量空間

本文的閱讀等級:中級 向量空間是一種代數結構,其中定義兩個運算:向量加法與純量乘法。令 為向量空間 的一組基底,意指 是一個線性獨立集,且每一個向量 可表示為 的線性組合 (見“基底與維數常見問答集”)。若基底是一個有限集,則 稱為有限維向量空間,否則稱為無限維向量空間。有限維向量空間比無限維向量空間容易分析,但有限維向量空間的概念與定理未必適用無限維向量空間。用一個例子說明。令 代表實序列 ,或記為 ,形成的無限維向量空間 (見“向量空間與實例”)。實序列空間 似乎是有限維向量空間 的直接推廣,實則不然。在 ,兩個序列 與 的加法定義為 ,純量 與序列 的乘法定義為 。套用有限維向量空間 的向量構造方式, , 其中 的第 元為 ,其餘元為 。表面上, 是所有 的「無限線性組合」構成的集合,但在一般情況下無窮多個向量之和未必是有意義的,譬如, 並不是一個收斂序列。如何才能使無窮多個向量之和具有意義呢?數學家想出一個方法:考慮無限多個向量 的部分和,,,並期待向量序列 收斂至某個向量 ,也就是說隨著 增大,序列 越來越接近 。要討論一個向量序列是否收斂的前提是我們須測量 與 之間的「距離」,或者說 … Continue reading

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歐幾里得空間的數學結構

本文的閱讀等級:中級 歐幾里得空間 是有序數組 (稱為點或向量) 形成的集合,其中 為實數。在歐氏幾何中,譬如平面幾何與空間幾何,我們可以計算兩點之間的距離、多個向量的線性組合 (向量加法與純量乘法)、向量的長度,以及兩個向量之間的夾角。數學家將這些概念予以抽象化,並用公設化方式定義出不同的數學結構,稱為空間。在數學中,空間一詞並不單獨存在,我們可以稱 是一個集合,但不講 是一個空間。粗淺地說,空間是一個賦予某種數學結構的集合,該數學結構決定空間的名稱,例如線性代數讀者熟悉的向量空間。本文概述歐氏空間 的一些數學結構,背後的目的是將有限維空間延伸至無限維空間,其中最重要的一個特例是希爾伯特 (Hilbert) 空間。

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平行四邊形恆等式

本文的閱讀等級:中級 令 為一內積空間。若 的向量範數 (長度) 由內積定義,,則有平行四邊形恆等式 (parallelogram identity),即任意 滿足 。 使用內積性質便可證明 (“內積的定義”),如下: 平行四邊形恆等式的命名來自當 ,如果採用歐氏範數,一個平行四邊形的兩條對角線長度的平方和等於它四邊長度的平方和 (見下圖)。反過來講,若平行四邊形恆等式成立,賦範向量空間 (定義了向量範數的向量空間) 必然是一內積空間嗎?答案是肯定的,下面將詳細說明。

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向量範數

本文的閱讀等級:中級 線性代數的許多概念與主題衍生自歐幾里得幾何。典型的一個作法是將 和 的幾何觀念推廣至高維座標空間 和 。譬如,畢氏定理可用來計算二維實向量 和三維實向量 的長度: , 稱為歐氏範數 (Euclidean norm)。類似地, 維向量長度也有相同的算式。對於 , 。 上式中,我們以向量內積來表達 維實向量的歐氏範數。同樣道理, 維複向量的歐氏範數應該用複向量內積表達。對於 ,歐氏範數定義為 。 若 ,其中 和 是實數,,則 ,即有 。所以, 確保複向量的歐氏範數 不為負值。

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