Tag Archives: 超平面

逆矩陣的列和

本文的閱讀等級:初級 考慮三維幾何空間的三個點 , 和 ,求通過這三點的平面方程式。求解平面方程式的最簡單方法是找出平面的法向量 (運用行列式的平面方程解法參見“利用行列式求直線、平面和圓方程式”)。在 空間,外積 (cross product,亦稱向量積) 經常被用於計算法向量。平面方程式的解法如下:先得到位於平面上的二個向量,譬如, 和 ,計算它們的外積 (見“答張盛東──關於外積與行列式的關係”), 。 所求的平面方程式即為 。本文介紹一個基於矩陣代數的法向量算法:將三點的座標合併成一矩陣 , 其中每一列 (row) 為一個點的座標。此例 是一個可逆矩陣, 。 算出 的三個列和: , 此即通過給定三點的平面的法向量。多數人或許初次聽聞這個奇特的方法,往下閱讀前,讀者不妨先自行嘗試證明。 Advertisements

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多胞形

本文的閱讀等級:中級 在最佳化領域,多胞形 (polytope) 是一種應用廣泛的特殊凸集[1]。多胞形可以存在於任何有限維的幾何座標空間,多邊形是二維多胞形,多面體是三維多胞形, 的多胞形稱為 多胞形。淺白地說,多胞形的邊界都是平的。本文討論的多胞形限定為有界閉集,定義如下:若 是屬於 的有限向量集,凸包 稱為一多胞形。因為凸包是凸集,凸包定義的多胞形自然是一有界閉凸集 (見“凸組合、凸包與凸集”)。本文將介紹多胞形的幾何性質,並推導有界閉凸集的一個重要定理,它指引了一條解決線性規劃問題的捷徑。

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超平面

本文的閱讀等級:初級 在最佳化與機器學習領域,譬如線性規劃、線性判別分析 (linear discriminant analysis)、Logit 模型 (logistic regression) 和多層類神經網路 (multilayer network),超平面 (hyperplane) 是一個常見的模型元件。許多最佳化方法,如梯度下降法、Lagrange 乘數法和對偶理論,也都與超平面有關。本文從幾何與代數兩種觀點介紹超平面的基礎知識,並以凸集為例說明超平面於分割向量空間的應用 (見“凸組合、凸包與凸集”)。

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特殊矩陣 (4):Householder 矩陣

本文的閱讀等級:中級 在幾何向量空間 ,鏡射 (reflection) 超平面 (hyperplane) 由單位法向量 決定 (超平面是維數等於 的子空間)。對於任一點 (或向量) ,從空間幾何可推論點 的鏡射為 ,其中 是點 在法向量 的投影量 (見下圖)。將純量 和向量 交換位置,並移除括弧,鏡射點可表示為 。 單位法向量 所定義的超平面的鏡射變換矩陣稱為 Householder 矩陣,如下: , 其中 。(對於 的一般子空間的鏡射矩陣請見“旋轉與鏡射”。)

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