Tag Archives: 跡數

每週問題 April 17, 2017

這是網友范智忠提供的問題。 Let and be matrices. If , show that . Advertisements

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每週問題 March 6, 2017

證明 Hermitian 矩陣的秩與跡數不等式。 Let be an nonzero Hermitian matrix. Prove that .

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每週問題 February 20, 2017

證明三階旋轉矩陣的一個跡數恆等式。 Let be a real orthogonal matrix and . Prove that .

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每週問題 January 2, 2017

若 是一個二階方陣且 ,證明存在一個么正 (unitary) 矩陣 使得 的主對角元為零。 Let be a matrix and . Show that there exists a unitary matrix such that the diagonal elements of are equal to zero.

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每週問題 April 25, 2016

計算一個線性變換的跡數、行列式、特徵值與特徵向量。 Let be the vector space spanned by functions and . (a) Find the trace and determinant of the linear transformation from to . (b) Find the eigenvalues and corresponding eigenvectors of .

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每週問題 February 15, 2016

利用跡數 等價於 證明一些涉及 的代數性質。 Prove the following statements. (a) If is an complex matrix, then , and if and only if . (b) If are complex matrices and , then . (c) If , then . (d) If commutes with … Continue reading

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交換子的充要條件

本文的閱讀等級:中級 令 為一 階矩陣。我們稱 為交換子 (commutator),如果存在 階矩陣 和 使得 (見“交換子與可交換矩陣”)。判定方陣 是否為交換子的方法非常簡單: 為交換子的一個充要條件是 。例如,單位矩陣 不是交換子,因為 。若 為交換子,使用跡數循環不變性 (見“跡數的性質與應用”),可得 。 下面證明:若 ,則 是一個交換子。證明包含三個部分,分述於下。

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每週問題 November 30, 2015

若 同時是 的左逆與右逆,則 和 是同階方陣。 If and are two matrices such that and , show that .

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每週問題 October 26, 2015

證明若 ,則 。 Let and be matrices such that . Show that .

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正規矩陣的等價條件

本文的閱讀等級:高級 令 為一個 階矩陣。若 ,也就是說 和 可交換,則 稱為正規矩陣 (normal matrix)。例如,實對稱矩陣 、Hermitian 矩陣 、反共軛對稱矩陣 ,以及么正 (unitary) 矩陣 皆為正規矩陣 (見“特殊矩陣 (2):正規矩陣”)。目前已知的正規矩陣等價條件大約有 90 個[1],其中很多條件引用的概念相近,另有少許冷僻艱澀。本文挑選 25 個 (文獻[2]列舉出 70 個) 有關於特徵值、特徵向量、奇異值、跡數、範數、二次型、可交換、不變子空間 (invariant subspace)、正定、譜分解 (spectral decomposition),以及極分解 (polar decomposition) 等較具代表性的等價條件,並給出證明 (部分已刊登的證明僅提供連結)。

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