Tag Archives: 轉置矩陣

答DJWS──關於以鏡射變換實現矩陣轉置

網友DJWS留言: 想請教老師一個問題:給定矩陣 ,使用一連串的鏡射變換,變成其轉置 ,該如何做呢? Advertisements

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矩陣積 AB 之轉置公式的無言證明

給定一個 階矩陣 ,我們定義 的轉置 為 階矩陣,滿足 。換句話說,將 的列行對調即得到 ,如下例: 。 所謂矩陣的列行對調可以形象化解釋如下:設想你將矩陣 抄寫在一張 (半透明) 紙板上,左手抓住左上角,右手抓住右下角,以連接 元與 元的直線為轉軸翻轉紙板即得到 ,再翻轉一次便可回復 。因此,。若 與 可乘, 的轉置公式為 (見“轉置與共軛轉置”) 。 底下提供一個無言證明 (proof without words)。

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每週問題 July 27, 2015

證明不存在恆定相似變換矩陣使任一矩陣相似於其轉置。 Prove that there is no nonsingular matrix such that for every matrix , .

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每週問題 February 24, 2014

這是關於 和轉置 的特徵方程表達問題。 Let be an eigenvalue of and let and be eigenvectors corresponding to of and , respectively. Show that and , where and , .

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答LCB──關於矩陣乘積的逆矩陣、轉置與共軛轉置的形式

網友LCB留言: 请问老师, ( and are well defined.) 关于这三个公式,有没有更本质的规律蕴含在里面?

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轉置與共軛轉置

本文的閱讀等級:初級 矩陣具有加法與純量乘法運算。除了這兩個源自純量算術的運算,矩陣還有一個獨特的運算,稱為轉置 (transpose)。令 為 階矩陣。我們定義 的轉置,記作 ,為一個 階矩陣,其中 。換句話說,將 的列行對調即得轉置矩陣 ,如下例, 。 明顯地,。若 表示成分塊矩陣,則 不僅置換列行分塊,每一個分塊也必須隨之轉置,例如, 。 一般而言,轉置適用於實矩陣。在許多應用中,複矩陣的轉置常會附加共軛運算,稱為共軛轉置 (conjugate transpose)。複數 的共軛定義為 ,其中 且 。類似複數的共軛運算, 的共軛矩陣為 ,共軛轉置則為 ,或簡記為 。例如, 。 如同轉置運算,連續兩次共軛轉置不改變矩陣,。若 是實矩陣,共軛轉置退化成轉置,即 。下面我們討論 (共軛) 轉置與其他矩陣運算的結合,並介紹一些由 (共軛) 轉置所界定的特殊矩陣。

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每週問題 December 31, 2012

本週問題是計算轉置變換的行列式。 Let be an real matrix, and be the linear transformation defined by . What is the determinant of ?

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