Tag Archives: 轉置

線性變換的轉置

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階矩陣且 和 是 維向量。通過矩陣乘法,矩陣 將 維向量 映射至 維向量 。矩陣 是一個從幾何向量空間 映至 的線性變換,因為矩陣乘法滿足 且 , 是純量。類似地, 階轉置矩陣 (transpose) 是一個從 映至 的線性變換 (見“轉置矩陣的意義”)。既然每一個矩陣都是線性變換,我們可以反過來問:對於線性變換 ,其中 和 是有限維向量空間,如何定義線性變換 的轉置變換?1970年代以前出版的線性代數教本經常從線性變換的轉置來定義矩陣的轉置[1]。這套論述固然嚴謹扎實,但必須建立在線性泛函 (linear functional) 和對偶空間 (dual space) 的基礎上,對於非數學專業的讀者多少總會增加負擔,故現今大概只有專為數學系課程撰寫的教科書才會納入這個論點[2]。在開始討論之前,我們先回顧相關的線性泛函和對偶空間的預備知識 (詳見 “線性泛函與對偶空間”)。 Advertisements

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線性泛函與伴隨

本文的閱讀等級:高級 線性泛函 (linear functional) 為一從向量空間 映射至純量 的線性變換 (見“線性泛函與對偶空間”),如下例, 是一個定義於 的線性泛函。我們經常將 視為向量 和 的內積,也就是說,對於 ,線性泛函 可寫成 ,其中 。根據這個觀察,我們推想定義於內積空間 的線性泛函 ,是否都可以表示為 ?這裡 代表廣義內積運算 (見“內積的定義”)。再看另一個例子,令 是所有二次實多項式形成的向量空間,其中多項式 和 的內積定義為 對於 ,考慮以下函數 因為積分是線性運算,可知 是一個定義於 的線性泛函。同樣的問題,線性泛函 可否表示成 其中 屬於 ?注意, 不屬於 ,此例 不像前一個例子那麼容易確定,因此更凸顯下面這個定理的威力──它不僅證明原先的猜想,同時也給出一個計算方法。

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每週問題 December 6, 2010

這是前幾天一位同學提出的問題,此題取自Friedberg 等人所著 Linear Algebra,第四版,2003,PP 259。 Pow-Dec-6-10 參考解答 PowSol-Dec-6-10

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圖說矩陣基本子空間與線性方程解的結構

本文的閱讀等級:中級 線性代數的主體由一連串環環相扣的論述所構成,因此在學習過程中邏輯推理顯得格外重要。但是,如果跳脫符號組成的抽象世界,在現實世界中,知覺其實遠比邏輯來得重要。知覺指的是我們認識和理解世界的方法,它是探究新經驗並轉化為知識的主要途徑。所以,研習線性代數時,我們不應只注意術語的定義和符號的運算,而應當多花心力於瞭解符號所代表的概念與實質意義,將抽象的術語和符號轉換為可辨認的思考模式。建立思考模式的最簡單方法是以現實經驗作類比,藉此將抽象概念實體化,同時把推理論述架構在這個實體模型上。在“轉置矩陣的意義”一文,我曾經以桌球平台說明變換矩陣 及其轉置 於映射子空間的行為表現,本文則運用此平台呈現矩陣四個基本子空間和線性方程解的結構之間的關係。

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轉置矩陣的意義

本文的閱讀等級:中級 如果門徒向蘇格拉底提問:「轉置矩陣是甚麼?」蘇格拉底一如既往地回答:「不知道。」門徒於是轉而查閱課本的說法: 給定一個 階矩陣 ,轉置矩陣是一個 階矩陣,記作 ,其中 。 轉置矩陣 不過就是將 的行列對調位置而已,還有必要繼續討論下去嗎?「轉置矩陣 與原矩陣 有何關係?」誠懇向學的門徒不肯罷休又窮追猛問:「轉置矩陣 有什麼代數和幾何意義?」越是基本的問題往往越難給出令多數人滿意的答案,所以先聲明:以下言論僅為個人觀點,不代表本人服務的工作單位的立場。

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矩陣與其轉置的相似性

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階實或複矩陣。轉置矩陣 與 共享許多性質。因為任一 階矩陣的行秩等於列秩 (見“行秩=列秩”),即行空間的維數等於列空間的維數,立知 。再者, 與 有相同的行列式值, (見“行列式的運算公式與性質”)。使用行列式性質, 與 有相同特徵多項式,,故 與 有相同的特徵值 (見“每週問題 July 6, 2009”)。

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每週問題 July 6, 2009

本週問題是關於方陣與其轉置的特徵值及特徵向量。 點選問題↓ pow-july-6-09 參考解答↓ powsol-july-6-09

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