Tag Archives: 逆否命題法

證明細解 2

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階矩陣。若存在同階矩陣 使得 ,則 稱為可逆 (invertible) 矩陣。若 有 個線性獨立的行 (column) 與列 (row),即滿秩,記作 ,則 稱為非奇異 (nonsingular) 或非退化 (nondegenerate) 矩陣。可逆矩陣與非奇異矩陣是同義的。我們要證明可逆矩陣的一個充要條件:可逆矩陣不具備「毀滅性」的矩陣乘法,詳述於下列定理。   定理. 令 為一個 階矩陣。每一個 階非零矩陣 使得 若且惟若 是一個可逆矩陣。

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反證法與逆否命題法

本文的閱讀等級:中級 英國數學家哈代 (G. H. Hardy) 說[1]:「歐幾里得喜好的歸謬法 (reductio ad absurdum) 是數學家最精良的武器之一。它比起棋手所用的任何戰術還要好:棋手可能需要犧牲一個卒子或其他棋子,但數學家提供整個遊戲。」歸謬法是一種間接論證方式,先假設某個命題不成立,然後推理出矛盾、不符合已知的事實或荒謬的結果,從而論斷該命題成立。在命題易於作否定陳述,假設條件僅提供少量訊息,或缺乏明確的直接證明思路時,歸謬法便可派上用場。反證法 (proof by contradiction) 是狹義的歸謬法,兩者的差別在於反證法只限於推理出邏輯上矛盾的結果。因此,反證法經常應用於證明數學定理。具體地說,我們要證明一個陳述「若 則 」,記為 ,其中 是條件, 是命題,也就是說, 是 的一個充分條件, 是 的一個必要條件。反證法假定 與 (非 ) 同時成立,然後設法推論出 。但 是某個已知的事實或條件,這樣就得到一個矛盾 。在反證法中, 可以是 ,,或其他已知的事實或條件。如果 ,反證法要證明 ,即 。如果 ,反證法要證明 。

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每週問題 August 3, 2015

這是判定可逆矩陣的問題。 Let be an matrix. If for any nonzero matrix , show that is nonsingular.

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每週問題 March 11, 2013

這是從矩陣乘積的跡數判斷矩陣性質的問題。 Let be an real matrix. Prove the following statements. (a) If for every real matrix , then . (b) If for every real matrix with , then , where is any real number.

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同時可對角化矩陣

本文的閱讀等級:高級 令 和 為 階矩陣。我們知道矩陣乘法交換律未必成立,但如果 ,便稱 和 是可交換矩陣 (commuting matrices)。若 和 都是對角矩陣,則它們是可交換矩陣。這個簡單的事實暗示我們可對角化矩陣和可交換矩陣之間似乎存在某種關聯,本文就來探討兩個可對角化矩陣必須滿足什麼性質才會是可交換矩陣。

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