Tag Archives: 逆矩陣

高斯消去法與高斯─約當法的運算量

本文的閱讀等級:初級 高斯消去法 (Gaussian elimination) 是當今普遍用於解線性聯立方程組的演算法。高斯─約當法 (Gauss-Jordan method) 是高斯消去法的一種變形,主要應用於計算逆矩陣。關於這兩個算法的詳細介紹,請見“高斯消去法”和“高斯─約當法”,本文僅討論它們耗費的運算量。 Advertisements

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別再算逆矩陣了

本文的閱讀等級:初級 不知道從甚麼時候開始,“三階逆矩陣公式”經常雄踞本站「近期最多人點閱」表單的榜首,每日點閱該文的次數少則幾十,多則上百,下圖是過去一年以來的瀏覽次數統計 (主要的峰值所在的日期大致與台灣高等院校春秋二季期中和期末考試相吻合)。對於所見的逆矩陣風潮,我感到相當困惑:究竟出於甚麼樣的動機眾多年輕讀者願意不辭勞苦求算 (三階) 逆矩陣?如果尋覓逆矩陣公式的行動單純源於人類天生想要探索未知世界的好奇心,那我沒甚麼意見。不過,倘若只因為要解線性方程而計算逆矩陣,我可就忍不住要奉勸諸位:「省點力氣,別再算逆矩陣了!」

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逆矩陣的列和

本文的閱讀等級:初級 考慮三維幾何空間的三個點 , 和 ,求通過這三點的平面方程式。求解平面方程式的最簡單方法是找出平面的法向量 (運用行列式的平面方程解法參見“利用行列式求直線、平面和圓方程式”)。在 空間,外積 (cross product,亦稱向量積) 經常被用於計算法向量。平面方程式的解法如下:先得到位於平面上的二個向量,譬如, 和 ,計算它們的外積 (見“答張盛東──關於外積與行列式的關係”), 。 所求的平面方程式即為 。本文介紹一個基於矩陣代數的法向量算法:將三點的座標合併成一矩陣 , 其中每一列 (row) 為一個點的座標。此例 是一個可逆矩陣, 。 算出 的三個列和: , 此即通過給定三點的平面的法向量。多數人或許初次聽聞這個奇特的方法,往下閱讀前,讀者不妨先自行嘗試證明。

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九宮圖的逆矩陣

本文的閱讀等級:初級 九宮圖 (Lo Shu square),又稱洛書,即三階幻方 (magic square)。南宋楊輝《續古摘奇演算法》記載三階幻方的構造法:「九子斜排,上下對易,左右相更,四維挺出,戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足[1]」。九宮圖的陣列表示如下: 所謂 階幻方是指 個相異的數字排列成 階陣列形式,其中每一列、行[2]、主對角線與反主對角線 (anti-diagonal) 上的數字和皆等於 ,稱為幻方常數 (magic constant)。如果限定組合數字為連續正整數 ,則稱之為自然幻方,其幻方常數由階數 決定。因為 階自然幻方的數字總和 均分給 個列,可知 。九宮圖是一個三階自然幻方,幻方常數為 。如果將九宮圖視為 階矩陣 ,可以算出 ,逆矩陣為 (見“三階逆矩陣公式”) 。 令人訝異的是,九宮圖的逆矩陣也是一個幻方 (但非自然幻方),幻方常數恰為 。下面我們利用矩陣運算來證明這個有趣的性質。

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每週問題 May 19, 2014

本週問題是利用 Cayley-Hamilton 定理推導 階逆矩陣公式。 Let be a nonsingular matrix. Show that .

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Jordan 分塊

本文的閱讀等級:中級 在線性代數中,所謂「相似家族」是指其中成員矩陣彼此具有相似關係。具體地說,若 和 同屬一個「相似家族」,即 相似於 ,則存在一可逆矩陣 使得 。相似是一種等價關係,相似變換下的不變性質包括:特徵多項式、最小多項式、特徵值、行列式、跡數、矩陣秩,以及 Jordan 典型形式 (見“相似變換下的不變性”)。Jordan 形式因創造人法國數學家約當 (Camille Jordan) 而得名。Jordan 分塊為一上三角矩陣,其中主對角元是相同常數,設為 ,主對角上標元 (superdiagonal) 都等於 ,其上的所有元為零,如下所示: 。 Jordan 矩陣是由 Jordan 分塊構成的分塊對角矩陣,或者說 Jordan 矩陣是 Jordan 分塊的直和 (direct sum),如下例: 。 Jordan 形式定理表明任一 階矩陣 必可表示為 Jordan 典型形式 (或稱 Jordan … Continue reading

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三角圖案矩陣的逆矩陣

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階矩陣。若所有的 滿足 ,則 稱為上三角矩陣;若所有的 滿足 ,則 稱為下三角矩陣。上三角矩陣的逆矩陣仍為上三角矩陣 (見“三角矩陣的逆矩陣”)。因為 ,下三角矩陣的逆矩陣也是下三角矩陣。在不失一般性的原則下,以下討論限定於下三角矩陣。若下三角矩陣 是可逆的,則 的主對角元必不為零,且 ,。少數的下三角矩陣的逆矩陣無須計算即可求得。如果所有的主對角元為 且僅有一行不為零,稱為原子下三角矩陣,逆矩陣可由反轉非主對角元的正負號得到,例如, 。 本文介紹一些具有特殊圖案的下三角矩陣的逆矩陣。以下設 和 為下三角矩陣。所有的例子表示為 ,並給出 的推導證明。因為 是下三角矩陣,故僅須證明對於 ,,其中 為 Kronecker 記號: 若 ; 若 。

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答LCB──關於矩陣乘積的逆矩陣、轉置與共軛轉置的形式

網友LCB留言: 请问老师, ( and are well defined.) 关于这三个公式,有没有更本质的规律蕴含在里面?

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左逆與右逆

本文的閱讀等級:初級 考慮線性方程 ,其中 為一 階矩陣。如果係數矩陣 存在一個 階左逆矩陣 使得 ,我們可以解出線性系統,如下: 不過,當你試圖反向推導時,卻遇到了麻煩: 我們並不能斷言 也是 的右逆矩陣,即 。問題出在那裡呢?

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高斯─約當法

本文的閱讀等級:初級 在解線性方程組的應用上,高斯─約當法[1] (Gauss-Jordan method) 是高斯消去法的延伸 (見“高斯消去法”),其目的要得到最簡約的列等價方程組。高斯消去法產生梯形矩陣後,我們可以繼續執行取代運算將軸元 (pivot) 上方的元悉數消去,並使用伸縮運算迫使軸元為 。高斯─約當法產生的矩陣稱為簡約列梯形式 (reduced row echelon form),由下列四個條件定義 (前兩個條件即為梯形矩陣的性質): 零列置於矩陣最底下。 每列軸元的位置都位於其上方各列軸元的右側。 軸元等於 。 軸元其上方與下方的元皆為零。 下面列舉兩個簡約列梯形式。數字 表示軸元,每一軸元上方和下方的元皆為零,其他各元 (以 表示) 可以是任意數: 。

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