Tag Archives: 逆矩陣

Hilbert 矩陣的逆矩陣

本文的閱讀等級:初級 Hilbert 矩陣 (因數學家希爾伯特 David Hilbert 得名) 是一 階矩陣,其中 ,。明顯地,Hilbert 矩陣 的所有 () 階領先主子陣 (principal submatrix) 都是 Hilbert 矩陣。下面是 階的例子: 。 Hilbert 矩陣是可逆矩陣,且逆元 皆為整數。Hilbert 矩陣的逆元有許多不同的表達式,下面可能是最簡明的一個公式: 。 當 ,逆 Hilbert 矩陣是 。 Hilbert 矩陣是一種特殊的 Cauchy 矩陣,本文利用已知的 Cauchy 矩陣逆矩陣公式來推導 Hilbert 矩陣的逆矩陣。 Advertisements

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特殊矩陣 (17):組合矩陣

本文的閱讀等級:初級 組合矩陣 (combinatorial matrix)[1] 是具有下列形式的 階矩陣: , 也就是說,,其中 是 Kronecker 函數: 若 , 若 。令 代表所有元皆為 的 階矩陣,組合矩陣亦可表示成 。以下設 為實數,本文討論組合矩陣 的行列式、逆矩陣,以及特徵值和特徵向量。

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每週問題 October 29, 2012

本週問題是計算一特殊分塊矩陣的逆矩陣:。 Let and be matrices, and and . If and are nonsingular, show that .

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三角矩陣的逆矩陣

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階上三角矩陣,即 若 。假設 是可逆的, 表明可逆上三角矩陣的主對角不含零元。上三角矩陣的逆矩陣也是上三角矩陣,本文介紹三種證明方法:(1) 高斯─約當法,(2) 冪零 (nilpotent) 矩陣,(3) 不變子空間 (invariant subspace)。因為 是下三角矩陣,利用 可推論下三角矩陣 的逆矩陣 也是下三角矩陣。

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三階逆矩陣公式

本文的閱讀等級:初級 給定 階矩陣 ,若存在一個同階矩陣 使得 ( 表示 階單位矩陣),則 稱為可逆 (invertible) 或非奇異 (nonsingular) 矩陣。在這個情況下, 由 唯一決定[1],稱為 的逆矩陣或反矩陣,記作 。可逆矩陣 的一個充要條件為 。若 階 是可逆的,則 ,逆矩陣公式如下: 。 你可能好奇 階可逆矩陣的逆矩陣公式是甚麼樣子?底下介紹三個逆矩陣算法: 高斯─約當法 (Gauss-Jordan method), 伴隨矩陣 (adjugate) 衍生的行列式表達式, Cayley-Hamilton 定理導出的矩陣多項式。 我們先用這些方法推導 階逆矩陣公式,隨後再推廣至 階矩陣。

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Sherman-Morrison-Woodbury 公式

本文的閱讀等級:初級 考慮 階矩陣 與 。在一般情況下, 的逆矩陣並不存在有用的公式。但如果 是可逆矩陣,同時 具有某種特殊型態,則 確實有簡易的運算公式。最簡單的例子是 ,其中 和 是 維非零向量 (即 矩陣), 稱為秩-1矩陣。本文導出 的逆矩陣,再利用此結果推演 的計算公式,最後舉一例說明其應用。

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每週問題 July 2, 2012

本週問題是計算一特殊矩陣 的行列式與逆矩陣,此矩陣亦稱為組合 (combinatorial) matrix,形如 。 Pow-July-2-12 參考解答 PowSol-July-2-12

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伴隨矩陣

本文的閱讀等級:初級 若 是可逆的,則 。行列式與逆矩陣顯然有密切的關係,事實上,從行列式計算公式──餘因子展開 (亦稱 Laplace 展開)──可導出一般 階矩陣 的逆矩陣公式 (見“三階逆矩陣公式”)。令 代表移除 的第 列 (row) 與第 行 (column) 之後得到的 階子陣。我們稱 為餘子式 (minor),並定義 的餘因子 (cofactor) 為 。 對於任一列指標 ,行列式的餘因子公式 (見“行列式的運算公式與性質”) 如下: , 將上式表示成兩個矩陣之積的主對角元: 。 請注意,等號左邊的第一個矩陣是 ,第二個矩陣是餘因子矩陣 的轉置,唯有如此安排才能使乘積 的所有主對角元等於 。為甚麼 的非主對角元全都是零?以 的第1列和 的第2行相乘為例,如何證明 … Continue reading

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利用 Lagrange 內插多項式推導 Vandermonde 矩陣的逆矩陣

本文的閱讀等級:中級 考慮 階 Vandermonde 矩陣 , 其中 互異。我們曾利用伴隨 (adjugate) 矩陣及行列式公式導出 的逆矩陣公式 (見“Vandermonde 矩陣的逆矩陣”),但由於涉及行列式運算,推演過程因而相當繁複。本文介紹另一個較簡潔的逆矩陣推導方法──Lagrange 內插多項式 (參見“利用 Lagrange 內插多項式推導 Cauchy 矩陣的逆矩陣”)。

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利用 Lagrange 內插多項式推導 Cauchy 矩陣的逆矩陣

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階 Cauchy 矩陣,其中 ,,或明確表示如下: 。 Cauchy 矩陣的行列式的計算公式如下 (見“每週問題 March 7, 2011”): 。 當集合 和 各自包含相異數時, 是可逆矩陣。本文利用 Lagrange 內插多項式推導 Cauchy 矩陣的逆矩陣。

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