Tag Archives: 通解

每週問題 May 30, 2016

一個線性方程的解集合所包含的最大線性獨立向量數是多少? Let be an matrix and be the solution set for a consistent system of linear equations for some . (a) If is a maximal independent subset of and is any particular solution, show that , where denotes the nullspace … Continue reading

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每週問題 June 30, 2014

這是揉合特徵值、特徵向量、線性方程和正交投影的問題,取自“台聯大2014年碩士班招生考試試題 (電機類工程數學D)”的部分試題。 Let and . (a) Find the general solution (also called the complete solution) of . (b) Find the distance from to the row space of .

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線性方程 Ax=b 的通解與矩陣 A 的四個基本子空間整合算法

本文的閱讀等級:初級 令 為一 階實矩陣。矩陣 的行空間 (column space) 記為 ,零空間 (nullspace) 記為 。對於 階轉置矩陣 , 稱為 的列空間 (row space), 稱為 的左零空間 (left nullspace)[1]。以上是實矩陣 的四個基本子空間,其中列空間 和零空間 是 的子空間,行空間 和左零空間 是 的子空間。考慮下面兩個計算問題: 給定一 維向量 ,求線性方程 的通解 ,其中 為一特解,滿足 , 稱為齊次解,滿足 ,即 。 求矩陣 … Continue reading

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高斯消去法

本文的閱讀等級:初級 解線性方程組是線性代數處理的核心問題之一。考慮包含 個未知數 的線性方程式 , 其中係數 與 是給定的純量 (實數或複數)。若線性方程組有 個方程式,則可表示為陣列形式: 線性方程組的解 必須滿足上面 個方程式,也就是說方程組的解是 個方程式各自解的交集。線性方程組的系統化解法最早出現於公元前100年的中國古籍《九章算術》(見“《九章算術》的方程術”),隨後傳入日本和歐洲。今天,我們稱此算法為高斯消去法或高斯消元法 (Gaussian elimination) 以紀念德國數學家高斯 (Carl Friedrich Gauss) 的廣泛使用故而推廣了這個方法。

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每週問題 November 19, 2012

本週問題是給定線性方程 的通解,求 。 If and the general solution to is where and are free parameters, determine the matrix .

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答延伸寸──關於線性方程的通解表達

網友延伸寸留言: 本文 (“仿射組合與仿射空間”) 意猶未竟。要如何利用文中的定理來解答下列 link 的第一題呢? http://www.lic.nkfust.edu.tw/ezfiles/5/1005/img/791/982131.pdf 我覺得這一題出得很好。計算不難但若觀念不全通(我就是)的同學解起來會很困難。我甚至建議周老師為本題寫一篇通脈文。   答曰: 我將問題抄錄於下:一線性方程的通解可表示為 或 , 其中 和 是任意參數。求 和 。

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仿射組合與仿射空間

本文的閱讀等級:初級 考慮線性方程 ,所有可能的解稱為通解,具有下列形式: , 其中特解 是指滿足 的任一解,齊次解 則滿足 。除非齊次解僅包含平凡解 ,否則特解和齊次解皆不唯一,故通解有無窮多種表達式。見下例: 的通解可以表示為 , 上式中, 是任意實數,改變 數值即產生新的特解 ,齊次解則為 。幾何空間向量可用其端點表示,上例通解 (即所有特解構成的集合) 是 中一不穿越原點的直線,故不為子空間 (任一子空間必定包含原點)。另一方面,所有的齊次解都位於穿越原點的平行直線上,此即 的零空間 (見“Ax=b 和 Ax=0 的解集合有什麼關係?”)。所以,通解與齊次解之間具有點對點的平移關係,而該平移量可以是任一滿足線性方程的特解 。通解、特解和齊次解之間的關係常令學者感到困惑,本文介紹兩個新概念──仿射組合與仿射空間,希望藉此得以釐清特解和齊次解的幾何意義。

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每週問題 July 9, 2012

本週問題是從給定的特徵方程計算一線性方程的通解以及屬於列空間的特解。 Pow-July-9-12 參考解答 PowSol-July-9-12

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答zonelin──關於特徵方程與矩陣基本子空間的關係

網友zonelin留言: 周老師您好:在Linear Algebra Problem Set 9 2009裡面的第五題(b),請問 particular solution 是如何算出來的?eigenvalue 和解的關係為何?若 有解,則 落在 的行空間中, 則是 particular solution 和 homogeneous solution 相加,那 particular solution 落在 轉置後的行空間中,那我想請問,若 , 是落在 轉置後的行空間中還是 的行空間中?在矩陣四個空間的圖像上要如何解釋。謝謝~   答曰: 這個練習題選自 Gilbert Strang 所著 Introduction to Linear Algebra (2003) … Continue reading

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線性方程解的存在性與唯一性

本文的閱讀等級:初級 給定一 階矩陣 ,對於任意 維非零向量 ,如何判斷 是否存在解?倘若有解,又有多少組解?線性方程 的解存在與否和 的行空間及 向量有關,解的唯一性則和 的零空間有關。我們先討論唯一性問題,見下列定理。

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