Tag Archives: 連續論證法

答張盛東──關於三個半正定矩陣積的二次型為零的問題

網友張盛東留言: 老師,請教一個問題。已知 為實對稱半正定 (positive semidefinite) 矩陣,證明:對任意實向量 ,如果二次型 ,則 。這題我想很久都找不到思緒,希望老師指點一下。 Advertisements

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利用連續論證法證明 Cayley-Hamilton 定理

本文的閱讀等級:中級 令 為一 階矩陣,且 為其特徵多項式。設 是 的特徵值,也就是特徵多項式 的根,故 可表示為 。 將特徵多項式的變數 替換為方陣 ,常數 替換成單位矩陣 ,可得一形式相同的矩陣多項式,Cayley-Hamilton 定理 (見“Cayley-Hamilton 定理”) 宣稱 。 本文利用連續論證法證明 Cayley-Hamilton 定理,包含三個步驟 (見“連續論證法”):(1) 若 是可對角化矩陣,很容易證明 。(2) 若 不可對角化,考慮 「鄰近」的可對角化矩陣 ,其中 是一極小純量。(3) 特徵多項式是 的連續函數,令 即可證得不可對角化矩陣 亦滿足 。

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半正定矩陣的偏序關係

本文的閱讀等級:高級 不等式是矩陣理論的重要主題之一,矩陣不等式的探討可以從矩陣與數系的對應關係切入。Hermitian 矩陣 滿足 ,可類比為實數 ;複半正定矩陣 對任意 都滿足 ,因此可類比為非負實數 (見“矩陣與複數的類比”)。自然地,讀者會問:Hermitian 矩陣之間是否可以如實數那樣比較「大小」?本文從回答此問題開始,通過新概念的制訂與聯繫,最終發掘出一系列半正定矩陣的不等性質。

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Dodgson 縮合法──奇特的行列式運算法

本文的閱讀等級:中級 公元1865年英國數學家道奇森 (Charles Dodgson) 以筆名路易斯‧卡羅 (Lewis Carroll) 出版了影響深遠廣受世人喜愛的童話故事《愛麗絲夢遊仙境》(Alice’s Adventures in Wonderland)。當時流傳一則故事:維多利亞女王非常喜愛《愛麗絲夢遊仙境》,從而建議道奇森將下一本書獻給她。道奇森於是將隨後出版的數學著作《行列式初等論文》(An Elementary Treatise on Determinants) 呈給女王。不過,道奇森本人強烈否認這件事[1]。道奇森很可能是史上最出名的一位數學家,但他在數學方面的貢獻卻鮮為人知。1866年,道奇森發表了一個奇特的行列式運算法,名為縮合法 (condensation):給定一個 階矩陣,逐步產生 階, 階矩陣,直至得到一個 階矩陣,此最小矩陣的元即為原本給定矩陣的行列式。若拿縮合法與愛麗絲的奇幻旅程對比,縮合法不就是那瓶標示著「喝我」(DRINK ME),並讓愛麗絲像「單筒望遠鏡」那樣縮小的飲料嗎?

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連續論證法

本文的閱讀等級:中級 設 和 為 階矩陣,我們曾經在“AB 和 BA 有何關係?”一文運用分塊矩陣乘法證明 和 有相同的特徵值。本文介紹另一個簡易的證明方法,稱作連續論證法。先假設 是可逆矩陣,就有 得知 相似於 ,故 和 有相同的特徵值。接著再看 是不可逆矩陣的情況,這時 有零特徵值。考慮 ,設 ,由 可知 的特徵值等於 。這表示存在一正數 ,對於任意 ,,使得 是可逆的。根據上述結果, 和 也有相同的特徵值,亦即,對於 , 由於行列式為其各元的連續函數,上式等號兩邊同是連續函數。當 , 和 有相同的特徵多項式: 所以,不論 是否可逆, 和 有相同的特徵值。

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