Tag Archives: 部分軸元法

PA=LU 分解

本文的閱讀等級:中級 令 是一個 階可逆矩陣。LU 分解 是高斯消去法的一種表達形式,下三角矩陣 記錄消元過程使用的乘數,上三角矩陣 儲存約化結果,其中 和 的主對角元分別滿足 和 (見“LU 分解”)。不過,並非每一可逆矩陣都存在 LU 分解。在執行高斯消去法的化簡程序中,若 出現在軸元 (pivot) 位置,即 元,列取代運算便無法消去軸元底下各元,這時標準 LU 分解不復存在。可逆矩陣 的軸元總數 (即 ) 等於 ,透過列交換運算必能獲得一個 (非零) 軸元,所以仍可繼續下一階段的化簡步驟。從實際面來看,縱使未發生「零軸元」的情況 (軸元所在位置為零),為了避免因不當使用消去法而引發災難,部分軸元法 (partial pivoting) 也會適時地交換列 (見“特殊矩陣 (12):對角佔優矩陣”)。見下例 (取自[1]): 。 從 同時包含數值很小和很大的主對角元可知 不具數值穩定性,也就是說,標準 LU … Continue reading

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條件數

本文的閱讀等級:高級 當一個線性系統受到極微小的擾動即可引發方程解劇烈變化時,我們將無從信任計算結果,便稱它是病態系統 (見“病態系統”)。條件數 (condition number) 是矩陣運算誤差分析的基本工具,它可以度量矩陣對於數值計算的敏感性與穩定性,也可以用來檢定病態系統。本文通過一個簡單的線性方程擾動問題介紹條件數的推導過程,推演工具是矩陣範數 的定義所含的兩個不等式 (見“矩陣範數”): , 。

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特殊矩陣 (12):對角佔優矩陣

本文的閱讀等級:初級 如果一 階矩陣 每一列 (row) 的主對角元的絕對值大於該列非主對角元絕對值之和,也就是說,對於 , , 我們稱 為嚴格對角佔優 (strictly diagonally dominant)。若每一 滿足 ,則稱為非嚴格對角佔優。例如, 是嚴格對角佔優矩陣因為

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