Tag Archives: 鏡射矩陣

網友DJWS留言： 想請教老師一個問題：給定矩陣 ，使用一連串的鏡射變換，變成其轉置 ，該如何做呢？

網友王jiun留言： Dear 周老師，偶發機會，連上老師的網站，看到了好多矩陣的問題。原本是想查看看 Cayley-Hamilton 定理，因為高中數學解決矩陣高次方問題時，利用 Cayley-Hamilton 定理創造出一個特徵方程式，再除以此特徵方程式，將高次方變成處理餘式即可。這方法真妙……於是上網搜尋關鍵字，因緣際會連上老師的網站，真是福氣，學習好多好多東西 (原因還是很多看不懂)。 近期高中(四)3-4上課到鏡射矩陣，學習到一些好方法。因此利用直線的斜率創造出旋轉矩陣解決了對稱點的問題，但是偏偏課本舉例的對稱直線都是通過原點的。但是我發現若對稱直線沒有通過原點，那到底要怎麼解決呢？我原本想是不是先做點的平移，使直線通過原點，不過越想越頭痛，陷入思考盲點。以下是我從網路去找練習題目練習，都有給解答，但都沒有解釋。我怎麼都想不透？特請老師可否解救我，感恩。 問題一：設點 對於直線 的鏡射點為 ，請找出 與 的關係 (見圖一)。 解答： 問題二：如圖二，設直線 與 的夾角為 ，點 對於 的鏡射點為 ，點 對於 的鏡射點為 ，找出 與 的關係。(兩次鏡射等於一次旋轉) 解答： 問題三：設點 對於直線 (其中 ) 的鏡射點為 ，請找出 與 的關係。 解答： 第一題：那一直線斜率明明是 … Continue reading →

本文的閱讀等級：初級 矩陣之所以成為研究線性變換的一個有效工具乃基於兩個事實：線性變換完全由基底的映射行為所決定，以及線性複合變換可表示為矩陣乘積 (見“線性代數的第一堂課──矩陣乘法的定義”)。本文運用這兩個性質來設計二維歐幾里得空間裡常用的一些幾何變換矩陣。

本文的閱讀等級：中級 假設 與 為幾何向量空間 的兩個向量。請注意，以下向量皆為行向量 (column vector)。若 ，我們稱 為基本矩陣或初等矩陣 (elementary matrix)，其中 是單位矩陣， 是秩─1 (rank-one) 矩陣。基本矩陣的名稱源於係每一個基本列運算 (elementary row operation) 都有一個對應的基本矩陣 (見“特殊矩陣(10)：基本矩陣”)。基本矩陣是可逆的，其逆矩陣也是基本矩陣，如下： 。 本文推導基本矩陣的行列式公式、特徵值與特徵向量，並解釋基本矩陣的幾何意義。