Tag Archives: 鏡射矩陣

答DJWS──關於以鏡射變換實現矩陣轉置

網友DJWS留言: 想請教老師一個問題:給定矩陣 ,使用一連串的鏡射變換,變成其轉置 ,該如何做呢? Advertisements

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旋轉與鏡射

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階實矩陣。若 ,即 ,我們稱 為正交矩陣 (orthogonal matrix) 。令 為正交矩陣 的行向量 (column vector),。因此,,即 若 , 若 。正交矩陣的行向量組成一個單範正交集 (orthonormal set)。因為 是實矩陣,,正交矩陣是一種特殊的么正 (unitary) 矩陣,其界定條件為 。正交矩陣繼承么正矩陣的性質,正交變換具有保角、保長以及保距性。下面是正交矩陣的等價界定性質 (證明見“等距同構與么正矩陣”): 對於任意 ,。 對於任一 ,。 對於任意 ,。 本文討論兩種主要的正交矩陣:旋轉與鏡射,並解說兩者的相互表達。為便利說明,我們將使用下列預備知識。假設 ,。使用性質2,,即得 ,故正交矩陣的特徵值的絕對值等於 。正交矩陣歸屬正規 (normal) 矩陣,即 ,因此擁有完整的 個單範正交特徵向量 (見“特殊矩陣 … Continue reading

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答王jiun──關於平面上的鏡射問題

網友王jiun留言: Dear 周老師,偶發機會,連上老師的網站,看到了好多矩陣的問題。原本是想查看看 Cayley-Hamilton 定理,因為高中數學解決矩陣高次方問題時,利用 Cayley-Hamilton 定理創造出一個特徵方程式,再除以此特徵方程式,將高次方變成處理餘式即可。這方法真妙……於是上網搜尋關鍵字,因緣際會連上老師的網站,真是福氣,學習好多好多東西 (原因還是很多看不懂)。 近期高中(四)3-4上課到鏡射矩陣,學習到一些好方法。因此利用直線的斜率創造出旋轉矩陣解決了對稱點的問題,但是偏偏課本舉例的對稱直線都是通過原點的。但是我發現若對稱直線沒有通過原點,那到底要怎麼解決呢?我原本想是不是先做點的平移,使直線通過原點,不過越想越頭痛,陷入思考盲點。以下是我從網路去找練習題目練習,都有給解答,但都沒有解釋。我怎麼都想不透?特請老師可否解救我,感恩。 問題一:設點 對於直線 的鏡射點為 ,請找出 與 的關係 (見圖一)。 解答: 問題二:如圖二,設直線 與 的夾角為 ,點 對於 的鏡射點為 ,點 對於 的鏡射點為 ,找出 與 的關係。(兩次鏡射等於一次旋轉) 解答: 問題三:設點 對於直線 (其中 ) 的鏡射點為 ,請找出 與 的關係。 解答: 第一題:那一直線斜率明明是 … Continue reading

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Householder 變換於 QR 分解的應用

本文的閱讀等級:中級 目前已知三種主要的 QR 分解計算方法包括 Gram-Schmidt 正交化 (見“Gram-Schmidt 正交化與 QR 分解”)、Givens 旋轉 (見“Givens 旋轉於 QR 分解的應用”),和 Householder 變換。本文介紹最後一種方法:利用特殊設計的 Householder 變換於矩陣的正交化簡 (orthogonal reduction),從而得到 QR 分解。

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幾何變換矩陣的設計

本文的閱讀等級:初級 矩陣之所以成為研究線性變換的一個有效工具乃基於兩個事實:線性變換完全由基底的映射行為所決定,以及線性複合變換可表示為矩陣乘積 (見“線性代數的第一堂課──矩陣乘法的定義”)。本文運用這兩個性質來設計二維歐幾里得空間裡常用的一些幾何變換矩陣。

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基本矩陣的幾何意義

本文的閱讀等級:中級 假設 與 為幾何向量空間 的兩個向量。請注意,以下向量皆為行向量 (column vector)。若 ,我們稱 為基本矩陣或初等矩陣 (elementary matrix),其中 是單位矩陣, 是秩─1 (rank-one) 矩陣。基本矩陣的名稱源於係每一個基本列運算 (elementary row operation) 都有一個對應的基本矩陣 (見“特殊矩陣(10):基本矩陣”)。基本矩陣是可逆的,其逆矩陣也是基本矩陣,如下: 。 本文推導基本矩陣的行列式公式、特徵值與特徵向量,並解釋基本矩陣的幾何意義。

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Householder 矩陣乘積的特徵值

本文的閱讀等級:中級 考慮下面的 階實 Householder 矩陣: 其中 為 階單位矩陣, 為任意單位向量,亦即 。Householder 矩陣也稱為基本鏡射 (反射) 矩陣,鏡射超平面的法向量即為 (見“特殊矩陣(4):Householder 矩陣”)。由 Householder 矩陣的幾何意義很容易推論其特徵值,考慮 的鏡射結果: 上式說明 有特徵值 , 為對應的特徵向量。令 ,鏡射超平面即為 的正交補餘 。明顯地,,令 的任意 個線性獨立向量為 ,則 ,。利用這個結果可算出 鏡射超平面也就是對應特徵值 的特徵空間。綜合以上結果,我們知道 Householder 矩陣 有 個相重特徵值 以及特徵值 。設 本文所要討論的問題是,如何計算 Householder 矩陣乘積 … Continue reading

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特殊矩陣 (4):Householder 矩陣

本文的閱讀等級:中級 在幾何向量空間 ,鏡射 (reflection) 超平面 (hyperplane) 由單位法向量 決定 (超平面是維數等於 的子空間)。對於任一點 (或向量) ,從空間幾何可推論點 的鏡射為 ,其中 是點 在法向量 的投影量 (見下圖)。將純量 和向量 交換位置,並移除括弧,鏡射點可表示為 。 單位法向量 所定義的超平面的鏡射變換矩陣稱為 Householder 矩陣,如下: , 其中 。(對於 的一般子空間的鏡射矩陣請見“旋轉與鏡射”。)

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