Tag Archives: 限定算子

每週問題 June 15, 2015

這是正規矩陣 (normal matrix) 的界定問題:若 的任一特徵向量是 的特徵向量,則 是正規矩陣,反之亦然。 Let be an matrix. Show that is normal if and only if any eigenvector of is an eigenvector of . Advertisements

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不使用行列式的特徵值和特徵向量算法 (下)

本文的閱讀等級:高級 延續前文“不使用行列式的特徵值和特徵向量算法 (上)”和“不使用行列式的特徵值和特徵向量算法 (中)”,本文將討論以下三個與實際操作相關的問題:(1) 如何選擇「好種子」?(2) 如何快速檢查 是否為 的線性組合?(3) 特徵向量算法的基本原理是甚麼?不論特徵值的相重數為何,是否總能求得完整的特徵空間?往下閱讀前,請讀者先回顧前文。

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限定算子的特徵值與特徵向量 (下)

本文的閱讀等級:中級 令 是一有限維向量空間,, 是一線性變換, 是定義於不變子空間 的一個限定算子。上文“限定算子的特徵值與特徵向量 (上)”介紹了限定算子 的特徵值和特徵向量,及座標變換和相似變換。本文討論限定算子的特徵多項式和最小多項式,並證明以下三個命題: 限定算子 的特徵多項式整除線性變換 的特徵多項式。 限定算子 的最小多項式整除線性變換 的最小多項式。 若限定算子 不可對角化,則線性變換 也不可對角化。換句話說,若 可對角化,則 也可對角化。

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限定算子的特徵值與特徵向量 (上)

本文的閱讀等級:中級 令 為一向量空間, 為一線性變換 (亦稱線性算子)。若 是 的一個子空間,且對於每一 ,都有 ,即 ,則 稱為 的不變子空間 (invariant subspace)。我們可以設定不變子空間 等於 的定義域和到達域,稱為限定算子 (restriction),記作 。限定算子和不變子空間是一套極為有效的線性算子結構分析工具 (見“不變子空間──解構線性算子的利器”),本文介紹限定算子的特徵值與特徵向量計算方法。

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利用循環子空間證明 Cayley-Hamilton 定理

本文的閱讀等級:中級 在“利用循環子空間計算特徵多項式”一文,我們介紹了循環子空間的基本知識,並運用它來化簡線性算子特徵多項式的計算程序。本文將探討如何利用循環子空間證明 Cayley-Hamilton 定理:設 為定義於有限維向量空間 的線性算子, 為其特徵多項式,則 ,其中 代表零變換。

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不變子空間──解構線性算子的利器

本文的閱讀等級:中級 設 是一個從向量空間 映至向量空間 的線性變換。若 ,我們稱 為定義於向量空間 的線性算子 (linear operator)。數學家發展出一個研究線性算子的方法,他們想像向量空間 可以分割成一組不交集的子空間 ,精確地說, 為這些不交集子空間的直和 (direct sum,見“補子空間與直和”): 。 對於任一 ,僅有唯一的 ,,能夠組合出 。為簡約符號,我們以 代表向量 經過 映射後得到的像 。利用線性變換的基本性質,可得 。 上式提示我們一個探索線性算子 的途徑:只要分別探討 在各個子空間 的行為即可對 的行為獲得完整的認識。實際的操作方式是令線性算子 限定於子空間 上,稱為限定算子 (restriction),記為 。限定算子成立的前提是任一 ,都有 ,即 ,滿足此性質的子空間 稱為 的不變子空間 (invariant … Continue reading

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利用循環子空間計算特徵多項式

本文的閱讀等級:中級 令 為一向量空間且 為一線性變換 (或稱線性算子)。線性變換 將子空間 映射至另一子空間 。子空間 和 未必存在甚麼關係,但如果 ,我們稱 是 的一個不變子空間 (invariant subspace),也就是說,對於任意 ,必定有 。我們可以將線性變換 限定於子空間 上,於是有了限定算子 (restriction) 的概念,以符號表示為 。不變子空間的最主要價值在於化簡線性變換表示矩陣 (見“從不變子空間切入特徵值問題”),本文介紹一個產生不變子空間的簡易方式,稱為循環子空間 (cyclic subspace),並解說如何利用循環子空間計算矩陣特徵多項式。

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