Tag Archives: 零空間矩陣

線性方程 Ax=b 的通解與矩陣 A 的四個基本子空間整合算法

本文的閱讀等級:初級 令 為一 階實矩陣。矩陣 的行空間 (column space) 記為 ,零空間 (nullspace) 記為 。對於 階轉置矩陣 , 稱為 的列空間 (row space), 稱為 的左零空間 (left nullspace)[1]。以上是實矩陣 的四個基本子空間,其中列空間 和零空間 是 的子空間,行空間 和左零空間 是 的子空間。考慮下面兩個計算問題: 給定一 維向量 ,求線性方程 的通解 ,其中 為一特解,滿足 , 稱為齊次解,滿足 ,即 。 求矩陣 … Continue reading

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矩陣的四個基本子空間基底算法

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階實矩陣,或說 是一個線性變換 (見“線性變換與矩陣的用語比較”)。矩陣 的值域 (range) 為其行空間 (column space) , 將 以行向量 (column vector) 表示為 ,其中 , 就是行向量 的線性組合形成的一個集合,因為 。 矩陣 的核 (kernel) 為其零空間 (nullspace) 。 對於 階轉置矩陣 , 稱為 的列空間 (row space), 稱為 的左零空間 (left nullspace)。設 ,等號兩邊取轉置可得 … Continue reading

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答Louie──關於列等價矩陣家族的DNA

網友Louie留言: 老師你好,我有買你的教學光碟自修,謝謝你精采的講解,讓我有身歷其境的感覺。我在寫作業的時候遇到了點小問題:Problem-Set-4-2012 第五題。我只想到 等於 ,我參考了老師PO的詳解, ,這裡我有點不解。確實可以用 比較係數求出來 ,但是我們如何確定free variable在 的第三行和第四行,如果free variable在 的第一行和第三行或者 的第一行和第四行,這樣求出來的 不就不同了?麻煩老師幫我指點迷津一下。

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子空間之和與交集的算法

本文的閱讀等級:初級 給定 中任兩個子空間 和 ,如何計算子空間和 與子空間交集 ?子空間有兩種常用的描述方式:一是建構式,例如矩陣的行空間 (column space) 是行向量的生成 (span);二是限制式,例如矩陣的零空間 (nullspace) 是矩陣所表示的齊次方程的解集合。本文介紹針對這兩種描述方式的子空間和與交集的演算法,往下閱讀之前,讀者務必先掌握建構式與限制式的轉換技術 (見“行空間與零空間的互換表達”)。

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行空間與零空間的互換表達

本文的閱讀等級:初級 對於一 階實矩陣 ,行空間 (column space) 乃 的行向量於 中擴張而成的子空間: 零空間 (nullspace) 則是齊次方程 所有解形成的一個屬於 的子空間: 在一般情況下,矩陣行空間採用明確的 (explicit) 建構式 (即擴張) 定義,而零空間則以隱含的 (implicit) 限制條件 (即線性方程組) 來定義。本文探討如何運用簡約列梯形式 (reduced row echelon form) 解決下面兩個子空間互換表達問題:給定 ,將零空間 表示成明確的向量集擴張,也就是說,求矩陣 使得 ;另一方面,行空間 也可以表示為隱含的限制條件,亦即求矩陣 使得 。

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