Tag Archives: 零空間

每週問題 May 29, 2017

這是零空間的包容關係與矩陣乘法的問題。 Let and be complex matrices of size and , respectively. If , prove that for some matrix . Advertisements

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每週問題 August 22, 2016

證明一個直覺命題:若一個子空間與線性變換的零空間不交集,則該子空間的像 (image) 的維數等於子空間的維數。 Let and be finite dimensional vector spaces, and be a linear transformation. For a subspace of , the image of under is a subspace of . Prove that if , then . Note that denotes the nullspace … Continue reading

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每週問題 May 30, 2016

一個線性方程的解集合所包含的最大線性獨立向量數是多少? Let be an matrix and be the solution set for a consistent system of linear equations for some . (a) If is a maximal independent subset of and is any particular solution, show that , where denotes the nullspace … Continue reading

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每週問題 October 12, 2015

這是計算兩個矩陣的行空間和與零空間交集的問題。 (a) Let be an matrix and be an matrix. Show that , where denotes the column space of . (b) Let be an matrix and be a matrix. Show that , where denotes the nullspace of .

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每週問題 April 28, 2014

這是計算簡約列梯形式 (reduced row echelon form) 的問題。 Let . Determine the reduced row echelon form of .

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運用輸入輸出模型活化秩─零度定理

本文的閱讀等級:中級 令 為一個從向量空間 映射至向量空間 的線性變換, 稱為定義域 (domain), 稱為到達域 (codomain)。我們說 的值域 (range 或 image) 為 且 的核 (kernel) 或零空間 (nullspace) 為 。 值域 是 的一個子空間,零空間 是 的一個子空間 (見“子空間的辨識”)。假設 。如果 是 的一組基底,將它擴充為 的一組基底,,我們聲稱 組成 的一組基底。因為 ,我們只需要證明 是一個線性獨立集。考慮 。 因此,。但 是線性獨立集,意味 ,因此 ,推得 … Continue reading

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矩陣的四個基本子空間的正交投影矩陣

本文的閱讀等級:中級 令 為幾何向量空間 的一個子空間,且 是 的正交補餘 (orthogonal complement),意思是 且 。換一個說法,任一 可唯一分解成 ,其中 ,,且 。令 表示映射至子空間 的 階正交投影矩陣。下列性質成立 (見“正交投影矩陣的性質與界定”): 對於每一 ,。 對於每一 ,。 是實對稱冪等矩陣,即 。 且 。 若 () 且 是 的一組基底,將所有的基底向量組成 階矩陣 ,正交投影矩陣 可由下列公式算得 (推導見“線代膠囊──正交投影矩陣”): 。 值得注意的是 不因所選擇的基底 (即 矩陣) … Continue reading

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值域對稱矩陣

本文的閱讀等級:中級 令 為一 階實矩陣。若 ,則 可正交對角化為 ,其中 是實正交矩陣 (orthogonal matrix),滿足 ,, 是 的特徵值 (見“實對稱矩陣可正交對角化的證明”)。以下令 , 表示 的行空間 (column space,即值域), 表示 的零空間 (nullspace)。本文介紹一種涵蓋對稱矩陣的特殊矩陣,稱為值域對稱矩陣 (range symmetric matrix),具有下列等價的界定性質: ,其中 是一 階可逆分塊, 是一正交矩陣。 直白地說,值域對稱矩陣 的行空間等於列空間 (即 ),零空間等於左零空間 (即 ),行空間正交於零空間,且 正交相似於 ,其中 是可逆分塊。當值域對稱矩陣 退化為一對稱矩陣時, 即為非零特徵值所組成的對角矩陣。若 … Continue reading

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線性方程 Ax=b 的通解與矩陣 A 的四個基本子空間整合算法

本文的閱讀等級:初級 令 為一 階實矩陣。矩陣 的行空間 (column space) 記為 ,零空間 (nullspace) 記為 。對於 階轉置矩陣 , 稱為 的列空間 (row space), 稱為 的左零空間 (left nullspace)[1]。以上是實矩陣 的四個基本子空間,其中列空間 和零空間 是 的子空間,行空間 和左零空間 是 的子空間。考慮下面兩個計算問題: 給定一 維向量 ,求線性方程 的通解 ,其中 為一特解,滿足 , 稱為齊次解,滿足 ,即 。 求矩陣 … Continue reading

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零空間的快捷算法

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階矩陣。齊次方程 的所有解形成的集合稱為零空間 (nullspace) 或核 (kernel),記為 。在線性代數中,零空間的計算主要出現於求線性方程 的通解,以及方陣 () 對應特徵值 的 (非零) 特徵向量 使得 。本文介紹兩個基於簡約列梯形式 (reduced row echelon form) 的零空間快捷算法。

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