Tag Archives: 零空間

答matrix67──關於二相似矩陣的行空間與零空間的關係

網友matrix67留言: 老師您好,二相似矩陣有相同的列空間和零空間嗎?因為二相似矩陣是同一個線性變換 在不同基底下的表示矩陣,所以直觀上來想二相似矩陣的列空間應該都是 ,零空間都是 。但是事實似乎不是的,那麼如何理解這個問題呢?同時那一個矩陣的列空間與零空間和線性變換的 image 與 kernel 是相同的呢? Advertisements

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每週問題 September 23, 2013

這是通過零空間證明一特殊分塊矩陣的可逆性。 Let be an real matrix. If , show that is nonsingular. Note that is the nullspace of and is the column space of .

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線性代數在圖論的應用 (二):關聯矩陣

本文的閱讀等級:初級 線性代數在圖論的應用建立於圖的矩陣表達。我們曾在“線性代數在圖論的應用 (一):鄰接矩陣”討論了鄰接矩陣 (adjacency matrix),本文將介紹另一個重要的矩陣表達──關聯矩陣 (incidence matrix)。令 為一個有向圖,其中 是頂點集合, 是有向邊集合。我們以 和 分別表示頂點和邊的總數,即 ,。有序對 表示邊 的起始頂點是 ,終止頂點是 ,即 。我們定義關聯矩陣 為一 階矩陣,其中 且 若 ,其餘元為零[1]。見下例: 此圖的關聯矩陣為 。

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利用多項式分解向量空間──兼論齊次線性微分方程解法

本文的閱讀等級:中級 考慮齊次線性微分方程 , 其中 是微分算子, 皆為常係數。令 。 以 取代 ,可得 。從線性代數觀點,求解齊次線性微分方程 等同於計算線性算子 的核 (kernel) 或零空間 (見“從線性代數看微分方程”)。本文解釋如何利用多項式來分解向量空間,藉此並可建立齊次線性微分方程解法的理論基礎。

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答andy6829──關於實矩陣的列空間是零空間的正交補餘

網友andy6829留言: 周老師您好,我最近從一本書籍 (有關錯誤更正碼的線性區塊碼) 看到作者對某個向量空間的敘述,但我左想右想還是不知道作者想表達的意思是什麼,可以請問老師下列的敘述代表著什麼意思呢? 對任何一個由 個線性獨立的列向量所組成的 矩陣 ,均存在一個由 個線性獨立的列向量組成的 矩陣 (為甚麼?),使得 的列空間的任意向量與 的列向量正交,並且任何與 的列向量正交的向量都在 的列空間中 (為甚麼?): 的列空間等於 的零空間。 我看過您所發表的〈行空間與零空間的互換表達〉,感覺好像和我所要問的問題很類似,但我還是百思不得其解,可以請老師給我一些提示 (hint),好使我了解其中的意義嗎?謝謝周老師的幫忙。

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矩陣的四個基本子空間基底算法

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階實矩陣,或說 是一個線性變換 (見“線性變換與矩陣的用語比較”)。矩陣 的值域 (range) 為其行空間 (column space) , 將 以行向量 (column vector) 表示為 ,其中 , 就是行向量 的線性組合形成的一個集合,因為 。 矩陣 的核 (kernel) 為其零空間 (nullspace) 。 對於 階轉置矩陣 , 稱為 的列空間 (row space), 稱為 的左零空間 (left nullspace)。設 ,等號兩邊取轉置可得 … Continue reading

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線性變換與矩陣的用語比較

本文的閱讀等級:初級 在線性代數中,線性變換 (線性映射) 是矩陣的一種抽象描述,矩陣則是線性變換的具體實現。令 是一個從向量空間 映至向量空間 的變換,其中 稱為定義域 (domain), 稱為到達域 (codomain)。每一個向量 經由 映至 的一個向量 ,稱為 的像 (image)。對於任何 與純量 [1],如果 滿足 則 稱為一個線性變換。若 , 也稱為線性算子 (linear operator)。假設 和 是有限維向量空間, 且 。令 和 分別為向量空間 和 的基底。任一線性變換 可用矩陣乘法表示如下 (見“線性變換表示矩陣”): , 其中 是向量 參考 … Continue reading

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每週問題 November 5, 2012

本週問題是證明若 階矩陣 滿足 ,則 和 有相同的零空間。 Let be an matrix. If , show that , i.e., and have the same solution space.

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利用 Gramian 矩陣證明行秩等於列秩

本文的閱讀等級:中級 線性代數的基本定理建立在一個重要磐石之上,即矩陣的行秩 (column rank) 等於列秩 (row rank),意思是矩陣的行空間維數等於列空間維數。據此,一 階矩陣 的行秩和列秩通稱為秩,記作 。過去我們曾經在“行秩=列秩”利用矩陣乘法運算證明矩陣 的列空間維數不大於行空間維數,;將不等式的 替換為 ,因為 ,可知 ,因此得證。另外,透過秩分解 (rank decomposition) ,其中 階矩陣 的行向量是 的行空間基底, 階矩陣 的列向量是 的列空間基底,我們也得以目視矩陣的行秩等於列秩 (見“秩分解──目視行秩等於列秩”)。本文再介紹一個優雅的證明,整個論證核心在於 , 其中 是 的共軛轉置, 為 階 Hermitian 矩陣,稱為 Gramian 矩陣 (見“特殊矩陣 (14):Gramian 矩陣”)。

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答延伸寸──關於線性方程的通解表達

網友延伸寸留言: 本文 (“仿射組合與仿射空間”) 意猶未竟。要如何利用文中的定理來解答下列 link 的第一題呢? http://www.lic.nkfust.edu.tw/ezfiles/5/1005/img/791/982131.pdf 我覺得這一題出得很好。計算不難但若觀念不全通(我就是)的同學解起來會很困難。我甚至建議周老師為本題寫一篇通脈文。   答曰: 我將問題抄錄於下:一線性方程的通解可表示為 或 , 其中 和 是任意參數。求 和 。

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