Tag Archives: 餘因子

Vandermonde 矩陣的逆矩陣公式

本文的閱讀等級:初級 考慮下列 階 Vandermonde 矩陣 , 記為 或 ,其中 。Vandermonde 矩陣 有一個簡單的行列式公式,如下 (見“特殊矩陣 (8):Vandermonde 矩陣”): 。 當 互異時,, 是可逆矩陣。本文利用伴隨 (adjugate) 矩陣及行列式公式推導 Vandermonde 矩陣 的逆矩陣。

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Dodgson 縮合法──奇特的行列式運算法

本文的閱讀等級:中級 公元1865年英國數學家道奇森 (Charles Dodgson) 以筆名路易斯‧卡羅 (Lewis Carroll) 出版了影響深遠廣受世人喜愛的童話故事《愛麗絲夢遊仙境》(Alice’s Adventures in Wonderland)。當時流傳一則故事:維多利亞女王非常喜愛《愛麗絲夢遊仙境》,從而建議道奇森將下一本書獻給她。道奇森於是將隨後出版的數學著作《行列式初等論文》(An Elementary Treatise on Determinants) 呈給女王。不過,道奇森本人強烈否認這件事[1]。道奇森很可能是史上最出名的一位數學家,但他在數學方面的貢獻卻鮮為人知。1866年,道奇森發表了一個奇特的行列式運算法,名為縮合法 (condensation):給定一個 階矩陣,逐步產生 階, 階矩陣,直至得到一個 階矩陣,此最小矩陣的元即為原本給定矩陣的行列式。若拿縮合法與愛麗絲的奇幻旅程對比,縮合法不就是那瓶標示著「喝我」(DRINK ME),並讓愛麗絲像「單筒望遠鏡」那樣縮小的飲料嗎?

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行列式的運算公式與性質

本文的閱讀等級:初級 一個矩陣的行列式就是一個平行多面體的 (定向) 體積,這個多面體的邊對應矩陣的行。如果學生們得知了這個秘密 (在純粹代數式的教學中,這個秘密被小心地隱藏起來),那麼行列式的整個理論將成為多重線性形式理論的一部分。倘若用別的方式來定義行列式,任何敏感的人都將會永遠痛恨諸如行列式,Jacobian式,以及隱函數定理這些東西。 ───俄國數學家阿諾爾德 (Vladimir Arnold)〈論數學教育〉[1]   在線性代數發展歷史中,行列式和矩陣理論一直有著密切的關係。行列式概念最早出現於解線性方程組的過程中,十七世紀末,日本數學家關孝和與德國數學家萊布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 的著作就已使用行列式來確定線性方程組解的數目與形式[2]。十九世紀以後,矩陣的引入使得更多的行列式性質被發現,行列式的發展遂漸趨完善。今天多數線性代數教科書都會開闢一個專門討論行列式的章節,但主要的目的並非求解線性方程組,而是為了順利導入矩陣的特徵多項式。不過,美國數學教授阿斯勒 (Sheldon Axler) 卻抱持反對的態度,他認為行列式是線性代數核心原理的推導結果,而不是行列式推導出線性代數的核心原理。1994年,阿斯勒發表〈斷絕行列式〉 (Done with determinants!),該文嚴厲抨擊行列式目前於線性代數的「地位」,之後並獲得不少數學家的共鳴和迴響。阿斯勒反對行列式的理由在於行列式難以理解,不具直覺,而且常在缺乏明顯動機的情況下被引用。不僅如此,行列式與線性代數理論的基調不甚相合。行列式的計算公式與主要的矩陣運算無關,它像是從一堆矩陣元拼貼出來的蒙太奇,讓人困惑如此怪異的公式究竟是怎麼冒出來的。雖然我們無法改變或簡化行列式公式,但仍可嘗試編排出易於理解的推導過程。本文從計算平行四邊形的面積推導行列式的運算公式,這麼做雖有違行列式誕生的初衷,但此法能夠豐富行列式的幾何直覺解釋並顯現行列式的一些重要性質。

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再談克拉瑪公式的證明

本文的閱讀等級:初級 在“克拉瑪公式的證明”一文,我們介紹了一個僅使用矩陣乘法運算和矩陣乘積行列式性質的簡易證明方法。該文提及高中數學教師可能利用向量外積 (cross product,或稱向量積) 來推導三階線性聯立方程的克拉瑪公式,但你不免好奇如何由三階公式推廣至更高階公式?回答這個疑問的途徑是通過一個稱為「選擇消滅」(selective annihilation) 的數學技巧。

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Chiò 演算法──另類行列式計算法

本文的閱讀等級:初級 傳統的行列式手算方法多數採用餘因子 (cofactor) 展開,也稱為 Laplace 展開,作法是將高階行列式逐步降階至二階行列式,再以熟知的公式算出 (見“行列式的運算公式與性質”)。如下例,對第二列 (row) 執行餘因子的展開式為 對於尺寸較大的行列式,餘因子展開式的麻煩是必須經過多次降階,寫出的展開式因此相當繁複。

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